Упр.1049 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти точки, в которых касательные к графику функции $$y=4x^3-9x^2+6x+1$$ параллельны оси абсцисс.

Касательная к графику функции параллельна оси абсцисс тогда и только тогда, когда её угловой коэффициент равен нулю, то есть $$y’=0.$$

Найдём производную функции $$y=4x^3-9x^2+6x+1.$$

$$y’=12x^2-18x+6=6(2x^2-3x+1).$$

Приравняем производную к нулю:

$$12x^2-18x+6=0,$$

$$2x^2-3x+1=0.$$

Решим квадратное уравнение:

$$D=(-3)^2-4\cdot 2\cdot 1=9-8=1.$$

$$x_{1,2}=\frac{3\pm 1}{2\cdot 2}.$$

Тогда

$$x_1=\frac{3-1}{4}=\frac12,\qquad x_2=\frac{3+1}{4}=1.$$

Найдём соответствующие значения функции:

$$y\left(\frac12\right)=4\left(\frac12\right)^3-9\left(\frac12\right)^2+6\left(\frac12\right)+1=\frac12-\frac94+3+1=\frac94,$$

$$y(1)=4-9+6+1=2.$$

Следовательно, искомые точки: $$\left(\frac12,\frac94\right)$$ и $$\left(1,2\right).$$

Ответ

$$\left(\frac12,\frac94\right),\ (1,2).$$