Упр.1048 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Прямая $$y=4x+a$$ является касательной к параболе $$y=6-2x+x^2$$. Найти $$a$$ и координаты точки касания.

Пусть функция параболы $$f(x)=6-2x+x^2.$$

Так как прямая $$y=4x+a$$ является касательной, то в точке касания их угловые коэффициенты равны. Найдём производную параболы:

$$f'(x)=-2+2x.$$

Приравниваем её к угловому коэффициенту касательной:

$$-2+2x=4$$

$$2x=6$$

$$x=3.$$

Найдём ординату точки касания:

$$f(3)=6-2\cdot 3+3^2=6-6+9=9.$$

Точка касания имеет координаты $$\left(3;9\right).$$

Подставим эти координаты в уравнение прямой $$y=4x+a$$:

$$9=4\cdot 3+a$$

$$9=12+a$$

$$a=-3.$$

Ответ

$$a=-3,\ \left(3;9\right).$$