Упр.1045 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Написать уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$, если:
   1) $$f(x)=\frac{3}{4}x\sqrt{x}$$, $$x_0=\frac{1}{4}$$;
   2) $$f(x)=2x^4-x^3+4$$, $$x_0=-1$$.

Уравнение касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$ имеет вид

$$y=f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0).$$

1. $$f(x)=\frac{3}{4x\sqrt{x}}=\frac{3}{4}x^{-\frac{3}{2}}, \quad x_0=\frac14.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\frac{3}{4}\cdot\left(-\frac32\right)x^{-\frac52}=-\frac{9}{8x^2\sqrt{x}}.$$

   Вычислим значения функции и производной в точке $$x_0=\frac14$$:

   $$f\left(\frac14\right)=\frac{3}{4\cdot \frac14 \cdot \sqrt{\frac14}}=6,$$

   $$f’\left(\frac14\right)=-\frac{9}{8\left(\frac14\right)^2\sqrt{\frac14}}=-36.$$

   Тогда

   $$y=6-36\left(x-\frac14\right)=6-36x+9=15-36x.$$

2. $$f(x)=2x^4-x^2+4, \quad x_0=-1.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=8x^3-2x.$$

   Вычислим значения функции и производной в точке $$x_0=-1$$:

   $$f'(-1)=8(-1)^3-2(-1)=-8+2=-6,$$

   $$f(-1)=2(-1)^4-(-1)^2+4=2-1+4=5.$$

   Тогда

   $$y=5-6(x+1)=5-6x-6=-6x-1.$$

Ответ

1) $$y=15-36x$$; 2) $$y=-6x-1$$.