Упр.1044 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти угол между осью Ох и касательной к графику функции $$y=f(x)$$ в точке с абсциссой $$x_0$$, если:

1. $$f(x)=\frac{1}{4}x^2-\sqrt{x},\quad x_0=1$$;
2. $$f(x)=2x\sqrt{x},\quad x_0=\frac{1}{3}$$.

Угол между осью $$Ox$$ и касательной к графику функции в точке с абсциссой $$x_0$$ находим по формуле $$\tg \alpha = f'(x_0)$$, где $$\alpha$$ — искомый угол.

1. $$f(x)=\frac{1}{4x^2}-\sqrt{x}, \quad x_0=1.$$

   Найдём производную:

   $$f'(x)=\left(\frac{1}{4}x^{-2}\right)’-(x^{1/2})’ =\frac{1}{4}\cdot(-2)x^{-3}-\frac{1}{2}x^{-1/2} =-\frac{1}{2x^3}-\frac{1}{2\sqrt{x}}.$$

   Тогда

   $$\tg \alpha=f'(1)=-\frac{1}{2\cdot 1^3}-\frac{1}{2\sqrt{1}}=-\frac12-\frac12=-1.$$

   Следовательно,

   $$\alpha=\arctg(-1)=-\frac{\pi}{4}.$$

2. $$f(x)=2x\sqrt{x}, \quad x_0=\frac13.$$

   Запишем функцию в виде степени:

   $$f(x)=2x^{3/2}.$$

   Тогда

   $$f'(x)=2\cdot \frac32 x^{1/2}=3\sqrt{x}.$$

   Находим значение производной в точке $$x_0=\frac13$$:

   $$\tg \alpha=f’\left(\frac13\right)=3\sqrt{\frac13}=\sqrt{3}.$$

   Значит,

   $$\alpha=\arctg \sqrt{3}=\frac{\pi}{3}.$$

Ответ

1) $$-\frac{\pi}{4}$$; 2) $$\frac{\pi}{3}$$.