Упр.1042 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Найти наибольшее и наименьшее значения функции $$y=\frac{2\cos^4 x+\sin^2 x}{2\sin^4 x+3\cos^2 x}$$.
Преобразуем функцию, введя замену $$t=\sin^2 x,$$ где $$0\le t\le 1.$$ Тогда $$\cos^2 x=1-\sin^2 x=1-t,$$ и
$$y=\frac{2\cos^4 x+\sin^2 x}{2\sin^4 x+3\cos^2 x} =\frac{2(1-t)^2+t}{2t^2+3(1-t)}.$$
Упростим:
$$y=\frac{2-4t+2t^2+t}{2t^2+3-3t} =\frac{2t^2-3t+2}{2t^2-3t+3}.$$
Заметим, что
$$2t^2-3t+2=(2t^2-3t+3)-1,$$
значит
$$y=1-\frac{1}{2t^2-3t+3}.$$
Рассмотрим знаменатель:
$$2t^2-3t+3=2\left(t-\frac34\right)^2+\frac{15}{8}.$$
Отсюда при $$0\le t\le 1$$ получаем
$$\frac{15}{8}\le 2t^2-3t+3\le 2.$$
Тогда
$$\frac12\le \frac{1}{2t^2-3t+3}\le \frac{8}{15},$$
и, следовательно,
$$1-\frac{8}{15}\le y\le 1-\frac12.$$
То есть
$$\frac{7}{15}\le y\le \frac12.$$
Но значение $$\frac12$$ не достигается, так как для него нужно $$2t^2-3t+3=2,$$ а при $$0\le t\le 1$$ максимум знаменателя равен $$2$$ только при $$t=1,$$ и тогда
$$y=\frac{2\cdot 1^2-3\cdot 1+2}{2\cdot 1^2-3\cdot 1+3}=\frac13.$$
Проверим значения в точках, где достигаются границы для $$t$$:
$$t=0 \Rightarrow y=\frac{2}{3},\qquad t=\frac34 \Rightarrow y=1-\frac{1}{15}=\frac{14}{15},\qquad t=1 \Rightarrow y=\frac13.$$
Наименьшее значение функции равно $$\frac{7}{15},$$ а наибольшее — $$\frac23.$$
Ответ
$$\min y=\frac{7}{15},\qquad \max y=\frac23.$$
