Упр.1041 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Найти все значения параметра $$a$$, при каждом из которых вершины двух парабол $$y=4x^2+8ax-a$$ и $$y=4ax^2-8x+a-2$$ лежат по одну сторону от прямой $$y=-5$$.

Подробный ответ

Найдём ординаты вершин парабол и потребуем, чтобы они лежали по одну сторону от прямой $$y=-5$$, то есть обе были либо больше $$-5$$, либо меньше $$-5$$.

1) Первая парабола $$y=4x^2+8ax-a$$

Координата вершины по оси $$x$$:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{8a}{2\cdot 4}=-a.$$

Ордината вершины:

$$y_0=4(-a)^2+8a(-a)-a=4a^2-8a^2-a=-4a^2-a.$$

Требуем:

$$-4a^2-a>-5,$$

$$4a^2+a-5<0.$$

Решим квадратное неравенство:

$$4a^2+a-5=0,$$

$$D=1+80=81,$$

$$a_{1,2}=\frac{-1\pm 9}{8}.$$

Отсюда

$$a_1=-\frac54,\qquad a_2=1.$$

Значит,

$$-\frac54<a<1.$$

2) Вторая парабола $$y=4ax^2-8x+a-2$$

Если $$a=0$$, то это уже не парабола, поэтому далее рассматриваем $$a\ne 0$$.

Координата вершины по оси $$x$$:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-8}{2\cdot 4a}=\frac1a.$$

Ордината вершины:

$$y_0=4a\left(\frac1a\right)^2-8\cdot\frac1a+a-2=a-\frac4a-2.$$

Требуем:

$$a-\frac4a-2>-5,$$

$$a+3-\frac4a>0,$$

$$\frac{a^2+3a-4}{a}>0,$$

$$\frac{(a+4)(a-1)}{a}>0.$$

Решение неравенства:

$$a\in(-4;0)\cup(1;+\infty).$$

3) Объединяем условия

Вершины должны лежать по одну сторону от прямой $$y=-5$$, значит, либо обе выше этой прямой, либо обе ниже. Совместим полученные промежутки. Подходит только случай, когда обе вершины выше прямой:

$$-\frac54<a<1,$$

$$a\in(-4;0)\cup(1;+\infty).$$

Пересечение даёт:

$$-\frac54<a<0.$$