Упр.1040 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Найти все значения $$a$$, при каждом из которых наименьшее значение квадратичной функции $$y=4x^2-4ax+a^2-2a+2$$ на отрезке $$[0;2]$$ равно 3.
2. Найти все значения параметра $$a$$, при каждом из которых наименьшее значение функции $$y=4ax+\left|x^2-8x+7\right|$$ больше 1.

1. Рассмотрим функцию $$y=4x^2-4ax+a^2-2a+2.$$ Это парабола, ветви направлены вверх. Её вершина имеет абсциссу

   $$x_0=\frac{4a}{8}=\frac{a}{2}.$$

   Нужно, чтобы на отрезке $$[0;2]$$ наименьшее значение было равно $$3$$.

   1) Если $$\frac{a}{2}\in[0;2],$$ то минимум достигается в вершине:

   $$y\!\left(\frac{a}{2}\right)=4\cdot\frac{a^2}{4}-4a\cdot\frac{a}{2}+a^2-2a+2=2-2a.$$

   Тогда

   $$2-2a=3,$$

   $$a=-\frac12.$$

   Но при этом $$\frac{a}{2}=-\frac14\notin[0;2],$$ значит этот случай не подходит.

   2) Если $$\frac{a}{2}\le 0,$$ то функция возрастает на $$[0;2]$$, и минимум достигается при $$x=0$$:

   $$y(0)=a^2-2a+2.$$

   Требуем

   $$a^2-2a+2=3,$$

   $$a^2-2a-1=0,$$

   $$a=1\pm\sqrt2.$$

   С учётом условия $$a\le 0$$ подходит только

   $$a=1-\sqrt2.$$

   3) Если $$\frac{a}{2}\ge 2,$$ то функция убывает на $$[0;2]$$, и минимум достигается при $$x=2$$:

   $$y(2)=16-8a+a^2-2a+2=a^2-10a+18.$$

   Требуем

   $$a^2-10a+18=3,$$

   $$a^2-10a+15=0,$$

   $$a=5\pm\sqrt{10}.$$

   С учётом условия $$a\ge 4$$ подходит только

   $$a=5+\sqrt{10}.$$

2. Рассмотрим функцию $$y=4ax+|x^2-8x+7|.$$

   Найдём, где выражение под модулем меняет знак:

   $$x^2-8x+7=(x-1)(x-7).$$

   Значит,

   $$x^2-8x+7\ge 0 \quad \text{при} \quad x\le 1 \text{ или } x\ge 7,$$

   а при $$1\le x\le 7$$ имеем $$x^2-8x+7\le 0.$$

   Если $$x\le 1 \text{ или } x\ge 7,$$ то

   $$y=4ax+x^2-8x+7=x^2+(4a-8)x+7.$$

   Чтобы наименьшее значение на этих промежутках было больше $$1,$$ достаточно проверить вершину параболы:

   $$x_0=4-a.$$

   Из условия получаем

   $$-4a^2+16a-10>0,$$

   $$2a^2-8a+5<0.$$

   Тогда

   $$a\in\left(2-\frac{\sqrt6}{2};\,2+\frac{\sqrt6}{2}\right).$$

   Если $$1\le x\le 7,$$ то

   $$y=4ax-x^2+8x-7=-x^2+(4a+8)x-7.$$

   Минимум на этом отрезке достигается на концах, поэтому проверим точки $$x=1$$ и $$x=7$$:

   $$y(1)=4a,\qquad y(7)=28a.$$

   Чтобы наименьшее значение было больше $$1,$$ нужно

   $$4a>1,$$

   то есть

   $$a>\frac14.$$

   Совмещая условия, получаем

   $$a\in\left(\frac14;\,2+\frac{\sqrt6}{2}\right).$$

Ответ

1) $$a=1-\sqrt2,\; 5+\sqrt{10}.$$

2) $$a\in\left(\frac14;\,2+\frac{\sqrt6}{2}\right).$$