Упр.1040 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

у = 4х2 — 4ах + а2 — 2а + 2 на отрезке [0; 2] равно 3.
2) Найти все значения параметра а, при каждом из которых наименьшее значение функции
у = 4ах + |х2 — 8х + 7|
больше 1.

Подробный ответ

Рассмотрим функцию $$y=4x^2-4ax+a^2-2a+2.$$ Это парабола, ветви направлены вверх. Её вершина имеет абсциссу
$$x_0=\frac{4a}{8}=\frac{a}{2}.$$
Нужно, чтобы на отрезке $$[0;2]$$ наименьшее значение было равно $$3$$.
1) Если $$\frac{a}{2}\in[0;2],$$ то минимум достигается в вершине:
$$y\!\left(\frac{a}{2}\right)=4\cdot\frac{a^2}{4}-4a\cdot\frac{a}{2}+a^2-2a+2=2-2a.$$
Тогда
$$2-2a=3,$$
$$a=-\frac12.$$
Но при этом $$\frac{a}{2}=-\frac14\notin[0;2],$$ значит этот случай не подходит.
2) Если $$\frac{a}{2}\le 0,$$ то функция возрастает на $$[0;2]$$, и минимум достигается при $$x=0$$:
$$y(0)=a^2-2a+2.$$
Требуем
$$a^2-2a+2=3,$$
$$a^2-2a-1=0,$$
$$a=1\pm\sqrt2.$$
С учётом условия $$a\le 0$$ подходит только
$$a=1-\sqrt2.$$
3) Если $$\frac{a}{2}\ge 2,$$ то функция убывает на $$[0;2]$$, и минимум достигается при $$x=2$$:
$$y(2)=16-8a+a^2-2a+2=a^2-10a+18.$$
Требуем
$$a^2-10a+18=3,$$
$$a^2-10a+15=0,$$
$$a=5\pm\sqrt{10}.$$
С учётом условия $$a\ge 4$$ подходит только
$$a=5+\sqrt{10}.$$
Рассмотрим функцию $$y=4ax+|x^2-8x+7|.$$
Найдём, где выражение под модулем меняет знак:
$$x^2-8x+7=(x-1)(x-7).$$
Значит,
$$x^2-8x+7\ge 0 \quad \text{при} \quad x\le 1 \text{ или } x\ge 7,$$
а при $$1\le x\le 7$$ имеем $$x^2-8x+7\le 0.$$
Если $$x\le 1 \text{ или } x\ge 7,$$ то
$$y=4ax+x^2-8x+7=x^2+(4a-8)x+7.$$
Чтобы наименьшее значение на этих промежутках было больше $$1,$$ достаточно проверить вершину параболы:
$$x_0=4-a.$$
Из условия получаем
$$-4a^2+16a-10>0,$$
$$2a^2-8a+5<0.$$
Тогда
$$a\in\left(2-\frac{\sqrt6}{2};\,2+\frac{\sqrt6}{2}\right).$$
Если $$1\le x\le 7,$$ то
$$y=4ax-x^2+8x-7=-x^2+(4a+8)x-7.$$
Минимум на этом отрезке достигается на концах, поэтому проверим точки $$x=1$$ и $$x=7$$:
$$y(1)=4a,\qquad y(7)=28a.$$
Чтобы наименьшее значение было больше $$1,$$ нужно
$$4a>1,$$
то есть
$$a>\frac14.$$
Совмещая условия, получаем
$$a\in\left(\frac14;\,2+\frac{\sqrt6}{2}\right).$$