Упр.104 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать, что $$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}$$.

Обозначим $$y=\arcsin x.$$ Тогда по определению арксинуса

$$\sin y=x,\qquad y\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$

Рассмотрим выражение $$\frac{\pi}{2}-\arccos x.$$ Так как $$\arccos x\in[0,\pi],$$ то

$$\frac{\pi}{2}-\arccos x\in\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].$$

Кроме того,

$$\sin\left(\frac{\pi}{2}-\arccos x\right)=\cos(\arccos x)=x.$$

Значит, числа $$\arcsin x$$ и $$\frac{\pi}{2}-\arccos x$$ принадлежат одному и тому же промежутку $$\left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right]$$ и имеют одинаковый синус. Следовательно, они равны:

$$\arcsin x=\frac{\pi}{2}-\arccos x.$$

Переносим $$\arccos x$$ в левую часть:

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}.$$

Ответ

$$\arcsin x+\arccos x=\frac{\pi}{2}.$$