Упр.1039 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

у = х2 + (а + 4)х + 2а + 3 на отрезке [0; 2] равно -4.

Подробный ответ

Рассмотрим функцию

$$y=x^2+(a+4)x+2a+3.$$

Это парабола, ветви направлены вверх. Её вершина имеет абсциссу

$$x_0=-\frac{a+4}{2}.$$

Чтобы на отрезке $$[0;2]$$ наименьшее значение было равно $$-4$$, возможны три случая.

Вершина лежит внутри отрезка: $$0\le x_0\le 2.$$ Тогда минимум достигается в вершине:
$$y_{\min}= -\frac{(a+4)^2}{4}+2a+3.$$
По условию
$$-\frac{(a+4)^2}{4}+2a+3=-4.$$
Умножим на $$4$$:
$$-(a+4)^2+8a+12=-16,$$
$$a^2=12,$$
$$a=\pm 2\sqrt{3}.$$
Проверим условие $$0\le x_0\le 2$$:
$$x_0=-\frac{a+4}{2}.$$
При $$a=2\sqrt{3}$$ получаем $$x_0<0$$, не подходит. При $$a=-2\sqrt{3}$$ также $$x_0<0$$, не подходит.
Минимум достигается в точке $$x=0$$:
$$y(0)=2a+3=-4,$$
откуда
$$2a=-7,\qquad a=-\frac{7}{2}.$$
Проверим условие, что функция возрастает на $$[0;2]$$:
$$x_0=-\frac{a+4}{2}\le 0.$$
При $$a=-\frac{7}{2}$$ имеем
$$x_0=-\frac{1}{4}\le 0,$$
значит, этот случай подходит.
Минимум достигается в точке $$x=2$$:
$$y(2)=4+2(a+4)+2a+3=4a+19.$$
По условию
$$4a+19=-4,$$
откуда
$$a=-\frac{23}{4}.$$
Но тогда
$$x_0=-\frac{a+4}{2}=\frac{7}{8},$$
то есть вершина лежит внутри отрезка, а не справа от него. Этот случай не подходит.