Упр.1038 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найти все значения $$x$$, при которых функция $$y=6\cos 2x+6\sin x-2$$ принимает наибольшее значение.

Преобразуем выражение:

$$y=6\cos^2 x+6\sin x-2=6(1-\sin^2 x)+6\sin x-2=-6\sin^2 x+6\sin x+4.$$

Обозначим $$t=\sin x,$$ тогда $$t\in[-1;1]$$ и

$$y=-6t^2+6t+4.$$

Это парабола, ветви которой направлены вниз, значит наибольшее значение достигается в вершине:

$$t_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2\cdot(-6)}=\frac12.$$

Проверим, что $$\frac12\in[-1;1].$$ Тогда максимум функции достигается при

$$\sin x=\frac12.$$

Отсюда

$$x=(-1)^n\arcsin\frac12+\pi n=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

$$x=(-1)^n\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$