Упр.1036 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

2) y = корень x2-4x-5.

1. $$y=\sqrt{6x-7}-2x.$$

   Найдём область определения: $$6x-7\ge 0,$$ значит $$x\ge \frac{7}{6}.$$

   Исследуем функцию на возрастание:

   $$y'(x)=\frac{6}{2\sqrt{6x-7}}-2=\frac{3}{\sqrt{6x-7}}-2.$$

   Для максимума производная должна быть неотрицательной:

   $$ \frac{3}{\sqrt{6x-7}}-2\ge 0 $$
   $$ \frac{3}{\sqrt{6x-7}}\ge 2 $$
   $$ 3\ge 2\sqrt{6x-7} $$
   $$ 9\ge 4(6x-7) $$
   $$ 9\ge 24x-28 $$
   $$ 24x\le 37 $$
   $$ x\le \frac{37}{24}. $$

   Значит, наибольшее значение достигается при $$x=\frac{37}{24}.$$ Найдём его:

   $$ y\!\left(\frac{37}{24}\right)=\sqrt{6\cdot \frac{37}{24}-7}-2\cdot \frac{37}{24} $$
   $$ =\sqrt{\frac{37}{4}-7}-\frac{37}{12} =\sqrt{\frac{9}{4}-\frac{37}{12}}-\frac{37}{12} =\frac{3}{2}-\frac{37}{12} =-\frac{19}{12}. $$

   Так как при больших $$x$$ функция убывает без ограничения, то множество значений:

   $$E(y)=\left(-\infty;\,-\frac{19}{12}\right].$$

2. $$y=\sqrt{x^2-4x-5}.$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$ x^2-4x-5\ge 0 $$
   $$ (x-5)(x+1)\ge 0. $$

   При этом $$y\ge 0$$ для всех допустимых $$x$$. Минимальное значение равно $$0$$, если подкоренное выражение обращается в нуль:

   $$ x^2-4x-5=0 $$
   $$ (x-5)(x+1)=0 $$
   $$ x=5 \text{ или } x=-1. $$

   Следовательно, функция принимает все значения от нуля и выше:

   $$E(y)=[0;+\infty).$$

Ответ

1) $$E(y)=\left(-\infty;\,-\frac{19}{12}\right].$$ 2) $$E(y)=[0;+\infty).$$