Упр.1035 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$y=0{,}5+\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)$$

   Так как $$-1\le \sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то

   $$-0{,}5\le 0{,}5+\sin\left(x-\frac{\pi}{4}\right)\le 1{,}5.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=[-0{,}5;\,1{,}5].$$

2. $$y=0{,}5\cos x+\sin x$$

   Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

   $$C=\sqrt{0{,}5^2+1^2}=\sqrt{1{,}25}=\frac{\sqrt5}{2}.$$

   Тогда

   $$y=\sqrt{1{,}25}\left(\frac{0{,}5}{\sqrt{1{,}25}}\cos x+\frac{1}{\sqrt{1{,}25}}\sin x\right)=\sqrt{1{,}25}\cos(x-a),$$

   где $$a=\arcsin\frac{1}{\sqrt{1{,}25}}.$$

   Так как $$-1\le \cos(x-a)\le 1,$$ то

   $$-\sqrt{1{,}25}\le y\le \sqrt{1{,}25}.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=\left[-\sqrt{1{,}25};\,\sqrt{1{,}25}\right]=\left[-\frac{\sqrt5}{2};\,\frac{\sqrt5}{2}\right].$$

Ответ

1) $$[-0{,}5;\,1{,}5]$$; 2) $$\left[-\frac{\sqrt5}{2};\,\frac{\sqrt5}{2}\right]$$.