Упр.1034 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. 1034. Найти множество значений функции:
   
   1) $$y=x^2+6x+3$$;
   
   2) $$y=-2x^2+8x-1$$;
   
   3) $$y=e^x+1$$;
   
   4) $$y=2+\frac{2}{x}$$.

1. $$y=x^2+6x+3$$

   Приведём к виду полного квадрата:

   $$y=(x+3)^2-6$$

   Так как $$\,(x+3)^2 \ge 0,$$ то

   $$y \ge -6.$$

   Минимум функции достигается при $$x=-3$$ и равен $$-6$$.

   $$E(y)=[-6;+\infty)$$

2. $$y=-2x^2+8x-1$$

   Приведём к виду полного квадрата:

   $$y=-2(x^2-4x)-1=-2\bigl((x-2)^2-4\bigr)-1=-2(x-2)^2+7$$

   Так как $$\,(x-2)^2 \ge 0,$$ то

   $$y \le 7.$$

   Максимум функции достигается при $$x=2$$ и равен $$7$$.

   $$E(y)=(-\infty;7]$$

3. $$y=e^x+1$$

   Так как $$e^x>0$$ при любом $$x,$$ то

   $$y>1.$$

   При $$x\to -\infty$$ имеем $$e^x\to 0,$$ значит $$y\to 1,$$ но значение $$1$$ не достигается.

   $$E(y)=(1;+\infty)$$

4. $$y=2+\frac{2}{x}$$

   Область определения: $$x\ne 0.$$

   Преобразуем уравнение:

   $$y-2=\frac{2}{x}$$

   $$x=\frac{2}{y-2}$$

   Это возможно при любом $$y,$$ кроме $$y=2.$$

   Следовательно,

   $$E(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$

Ответ

1) $$[-6;+\infty)$$; 2) $$(-\infty;7]$$; 3) $$(1;+\infty)$$; 4) $$(-\infty;2)\cup(2;+\infty)$$.