Упр.1033 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$y=\sqrt{\log_{0{,}8}(x^2-5x+7)}$$
2. $$y=\sqrt{\log_{0{,}5}(x^2-9)}$$
3. $$y=\sqrt{\log_{4}(1+6x)}+\left|\log_{\frac{1}{8}}(1+7x)\right|$$
4. $$y=\sqrt{\left|\log_{27}\left(1+\frac{7}{2}x\right)\right|}-\log_{\frac{1}{3}}(1+2x)$$

1. $$y=\sqrt{\log_{0,8}(x^2-5x+7)}$$

   Для существования корня нужно:

   $$\log_{0,8}(x^2-5x+7)\ge 0,$$

   а также

   $$x^2-5x+7>0.$$

   Так как $$D=25-28=-3<0,$$ то $$x^2-5x+7>0$$ при всех $$x\in\mathbb R.$$

   При основании $$0<0,8<1$$ неравенство $$\log_{0,8}(x^2-5x+7)\ge 0$$ равносильно

   $$0<x^2-5x+7\le 1.$$

   Из условия $$x^2-5x+7\le 1$$ получаем:

   $$x^2-5x+6\le 0,$$

   $$(x-2)(x-3)\le 0,$$

   $$2\le x\le 3.$$

2. $$y=\sqrt{\log_{0,5}(x^2-9)}$$

   Нужно, чтобы

   $$\log_{0,5}(x^2-9)\ge 0,$$

   и

   $$x^2-9>0.$$

   Так как $$0<0,5<1,$$ то

   $$0<x^2-9\le 1.$$

   Из $$x^2-9>0$$ имеем

   $$x<-3 \quad \text{или} \quad x>3.$$

   Из $$x^2-9\le 1$$ получаем

   $$x^2\le 10,$$

   $$-\sqrt{10}\le x\le \sqrt{10}.$$

   Пересечение условий:

   $$x\in[-\sqrt{10};-3)\cup(3;\sqrt{10}].$$

3. $$y=\sqrt{\log_4(1+6x)+\left|\log_{1/8}(1+7x)\right|}$$

   Так как $$\log_{1/8}(1+7x)=-\log_8(1+7x),$$ то

   $$\left|\log_{1/8}(1+7x)\right|=\left|\log_8(1+7x)\right|.$$

   Для области определения нужно:

   $$\log_4(1+6x)+\left|\log_{1/8}(1+7x)\right|\ge 0,$$

   $$1+6x>0,\qquad 1+7x>0.$$

   Рассмотрим два случая.

   1) Если $$-\frac17<x\le 0,$$ то $$\log_{1/8}(1+7x)\ge 0,$$ и

   $$\log_4(1+6x)-\log_8(1+7x)\ge 0.$$

   После преобразований получаем

   $$x(216x^2+59x+4)\ge 0.$$

   Корни квадратного трёхчлена:

   $$D=59^2-4\cdot 216\cdot 4=25,$$

   $$x_1=-\frac{4}{27},\qquad x_2=-\frac18.$$

   Отсюда

   $$x\in\left[-\frac{4}{27};-\frac18\right]\cup\{0\}.$$

   2) Если $$x\ge 0,$$ то $$\log_{1/8}(1+7x)\le 0,$$ и

   $$\log_4(1+6x)+\log_8(1+7x)\ge 0.$$

   Это неравенство выполняется при всех $$x\ge 0.$$

   Итак,

   $$x\in\left(-\frac17;-\frac18\right]\cup[0;+\infty).$$

4. $$y=\sqrt{\left|\log_{27}\left(1+\frac72x\right)\right|-\log_{1/3}(1+2x)}$$

   Так как $$\log_{1/3}(1+2x)=-\log_3(1+2x),$$ а $$\log_{27}a=\frac13\log_3 a,$$ то

   $$\left|\log_{27}\left(1+\frac72x\right)\right|-\log_{1/3}(1+2x)\ge 0$$

   равносильно

   $$\left|\log_3\sqrt[3]{1+\frac72x}\right|+\log_3(1+2x)\ge 0.$$

   Рассмотрим случаи.

   1) Если $$-\frac27<x\le 0,$$ то $$\log_3\sqrt[3]{1+\frac72x}\le 0,$$ и

   $$-\log_3\sqrt[3]{1+\frac72x}+\log_3(1+2x)\ge 0.$$

   Тогда

   $$\log_3\frac{1+2x}{\sqrt[3]{1+\frac72x}}\ge 0,$$

   $$\frac{1+2x}{\sqrt[3]{1+\frac72x}}\ge 1,$$

   $$1+2x\ge \sqrt[3]{1+\frac72x}.$$

   После возведения в куб получаем

   $$\left(1+2x\right)^3\ge 1+\frac72x,$$

   $$8x^3+12x^2+\frac52x\ge 0,$$

   $$\frac12x(16x^2+24x+5)\ge 0.$$

   Корни:

   $$D=24^2-4\cdot 16\cdot 5=256,$$

   $$x_1=-\frac54,\qquad x_2=-\frac14.$$

   С учётом промежутка $$-\frac27<x\le 0$$ получаем

   $$x\in\left(-\frac27;-\frac14\right].$$

   2) Если $$x\ge 0,$$ то

   $$\log_3\sqrt[3]{1+\frac72x}+\log_3(1+2x)\ge 0,$$

   и это неравенство выполняется при всех $$x\ge 0.$$

   Следовательно,

   $$x\in\left(-\frac27;-\frac14\right]\cup[0;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in[2;3].$$

2) $$x\in[-\sqrt{10};-3)\cup(3;\sqrt{10}].$$

3) $$x\in\left(-\frac17;-\frac18\right]\cup[0;+\infty).$$

4) $$x\in\left(-\frac27;-\frac14\right]\cup[0;+\infty).$$