Упр.1033 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

2) y= корень log0,5(x2-9);
3) y = корень log4(1+6x) + |log1/8(1+7x)|;
4) y = корень |log27 (1+7/2*x)| — log1/3(1+2x).

Подробный ответ

$$y=\sqrt{\log_{0,8}(x^2-5x+7)}$$
Для существования корня нужно:
$$\log_{0,8}(x^2-5x+7)\ge 0,$$
а также
$$x^2-5x+7>0.$$
Так как $$D=25-28=-3<0,$$ то $$x^2-5x+7>0$$ при всех $$x\in\mathbb R.$$
При основании $$0<0,8<1$$ неравенство $$\log_{0,8}(x^2-5x+7)\ge 0$$ равносильно
$$0<x^2-5x+7\le 1.$$
Из условия $$x^2-5x+7\le 1$$ получаем:
$$x^2-5x+6\le 0,$$
$$ (x-2)(x-3)\le 0,$$
$$2\le x\le 3.$$
$$y=\sqrt{\log_{0,5}(x^2-9)}$$
Нужно, чтобы
$$\log_{0,5}(x^2-9)\ge 0,$$
и
$$x^2-9>0.$$
Так как $$0<0,5<1,$$ то
$$0<x^2-9\le 1.$$
Из $$x^2-9>0$$ имеем
$$x<-3 \quad \text{или} \quad x>3.$$
Из $$x^2-9\le 1$$ получаем
$$x^2\le 10,$$
$$-\sqrt{10}\le x\le \sqrt{10}.$$
Пересечение условий:
$$x\in[-\sqrt{10};-3)\cup(3;\sqrt{10}].$$
$$y=\sqrt{\log_4(1+6x)+\left|\log_{1/8}(1+7x)\right|}$$
Так как $$\log_{1/8}(1+7x)=-\log_8(1+7x),$$ то
$$\left|\log_{1/8}(1+7x)\right|=\left|\log_8(1+7x)\right|.$$
Для области определения нужно:
$$\log_4(1+6x)+\left|\log_{1/8}(1+7x)\right|\ge 0,$$
$$1+6x>0,\qquad 1+7x>0.$$
Рассмотрим два случая.
1) Если $$-\frac17<x\le 0,$$ то $$\log_{1/8}(1+7x)\ge 0,$$ и
$$\log_4(1+6x)-\log_8(1+7x)\ge 0.$$
После преобразований получаем
$$x(216x^2+59x+4)\ge 0.$$
Корни квадратного трёхчлена:
$$D=59^2-4\cdot 216\cdot 4=25,$$
$$x_1=-\frac{4}{27},\qquad x_2=-\frac18.$$
Отсюда
$$x\in\left[-\frac{4}{27};-\frac18\right]\cup\{0\}.$$
2) Если $$x\ge 0,$$ то $$\log_{1/8}(1+7x)\le 0,$$ и
$$\log_4(1+6x)+\log_8(1+7x)\ge 0.$$
Это неравенство выполняется при всех $$x\ge 0.$$
Итак,
$$x\in\left(-\frac17;-\frac18\right]\cup[0;+\infty).$$
$$y=\sqrt{\left|\log_{27}\left(1+\frac72x\right)\right|-\log_{1/3}(1+2x)}$$
Так как $$\log_{1/3}(1+2x)=-\log_3(1+2x),$$ а $$\log_{27}a=\frac13\log_3 a,$$ то
$$\left|\log_{27}\left(1+\frac72x\right)\right|-\log_{1/3}(1+2x)\ge 0$$
равносильно
$$\left|\log_3\sqrt[3]{1+\frac72x}\right|+\log_3(1+2x)\ge 0.$$
Рассмотрим случаи.
1) Если $$-\frac27<x\le 0,$$ то $$\log_3\sqrt[3]{1+\frac72x}\le 0,$$ и
$$-\log_3\sqrt[3]{1+\frac72x}+\log_3(1+2x)\ge 0.$$
Тогда
$$\log_3\frac{1+2x}{\sqrt[3]{1+\frac72x}}\ge 0,$$
$$\frac{1+2x}{\sqrt[3]{1+\frac72x}}\ge 1,$$
$$1+2x\ge \sqrt[3]{1+\frac72x}.$$
После возведения в куб получаем
$$\left(1+2x\right)^3\ge 1+\frac72x,$$
$$8x^3+12x^2+\frac52x\ge 0,$$
$$\frac12x(16x^2+24x+5)\ge 0.$$
Корни:
$$D=24^2-4\cdot 16\cdot 5=256,$$
$$x_1=-\frac54,\qquad x_2=-\frac14.$$
С учётом промежутка $$-\frac27<x\le 0$$ получаем
$$x\in\left(-\frac27;-\frac14\right].$$
2) Если $$x\ge 0,$$ то
$$\log_3\sqrt[3]{1+\frac72x}+\log_3(1+2x)\ge 0,$$
и это неравенство выполняется при всех $$x\ge 0.$$
Следовательно,
$$x\in\left(-\frac27;-\frac14\right]\cup[0;+\infty).$$