Упр.1031 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. $$y=\sqrt{x-\frac{3}{x}+3}$$
2. $$y=\sqrt{4-\frac{9}{x}+1+\frac{1}{x}-3}$$
3. $$y=\sqrt{x^2-6x-\frac{16}{x^2}-12+11}$$

1. $$y=\sqrt{\frac{x-3}{x+3}}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$\frac{x-3}{x+3}\ge 0.$$

   Рассмотрим знаки числителя и знаменателя. Получаем:

   $$x<-3 \quad \text{или} \quad x\ge 3.$$

   Следовательно,

   $$x\in(-\infty;-3)\cup[3;+\infty).$$

2. $$y=\sqrt{4-\frac{9}{x+1}+\frac{1}{x-3}}$$

   Требуется:

   $$4-\frac{9}{x+1}+\frac{1}{x-3}\ge 0,$$

   при этом $$x\ne -1,$$ $$x\ne 3.$$

   Приведём к общему знаменателю:

   $$\frac{4(x+1)(x-3)-9(x-3)+(x+1)}{(x+1)(x-3)}\ge 0$$

   $$\frac{4x^2-12x+4x-12-9x+27+x+1}{(x+1)(x-3)}\ge 0$$

   $$\frac{4x^2-16x+16}{(x+1)(x-3)}\ge 0$$

   $$\frac{4(x-2)^2}{(x+1)(x-3)}\ge 0.$$

   Так как числитель неотрицателен и обращается в ноль при $$x=2,$$ то получаем:

   $$x\in(-\infty;-1)\cup\{2\}\cup(3;+\infty).$$

3. $$y=\sqrt{\frac{x^2-6x-16}{x^2-12x+11}}$$

   Нужно, чтобы

   $$\frac{x^2-6x-16}{x^2-12x+11}\ge 0,$$

   и знаменатель не равнялся нулю.

   Разложим на множители:

   $$x^2-6x-16=(x-8)(x+2),$$

   $$x^2-12x+11=(x-1)(x-11).$$

   Тогда

   $$\frac{(x-8)(x+2)}{(x-1)(x-11)}\ge 0.$$

   По знакам множителей получаем:

   $$x\in(-\infty;-2]\cup(1;8]\cup(11;+\infty).$$

Ответ

1) $$x\in(-\infty;-3)\cup[3;+\infty).$$

2) $$x\in(-\infty;-1)\cup\{2\}\cup(3;+\infty).$$

3) $$x\in(-\infty;-2]\cup(1;8]\cup(11;+\infty).$$