Упр.103 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Построить график функции:

1. $$y=\arcsin(2x+3)$$;
2. $$y=2\arccos(x-1)$$;
3. $$y=\operatorname{arcctg}x$$;
4. $$y=\operatorname{arcctg}(x+1)$$.

1. Для функции $$y=\arcsin(2x+3)$$ используем график $$y=\arcsin x$$ и замену аргумента $$x \mapsto 2x+3$$. Это сдвиг графика влево на $$\frac{3}{2}$$ и сжатие по оси $$x$$ в 2 раза.

   Область определения найдём из условия:

   $$-1 \le 2x+3 \le 1$$

   $$-4 \le 2x \le -2$$

   $$-2 \le x \le -1$$

   Значит, график определён при $$x \in [-2;-1]$$, а значения функции лежат в промежутке $$\left[-\frac{\pi}{2};\frac{\pi}{2}\right]$$.

2. Для функции $$y=2\arccos(x-1)$$ берём график $$y=\arccos x$$, сдвигаем его вправо на 1 и растягиваем по оси $$y$$ в 2 раза.

   Область определения:

   $$-1 \le x-1 \le 1$$

   $$0 \le x \le 2$$

   Следовательно, $$x \in [0;2]$$, а значения функции: $$y \in [0;2\pi]$$.

3. График функции $$y=\operatorname{arcctg}x$$ — убывающий, проходит через точку $$\left(0;\frac{\pi}{2}\right)$$, при $$x \to +\infty$$ стремится к $$0$$, а при $$x \to -\infty$$ — к $$\pi$$.

4. Функция $$y=\operatorname{arcctg}(x+1)$$ получается из графика $$y=\operatorname{arcctg}x$$ сдвигом влево на 1.

   Область определения: $$x \in \mathbb{R}$$, область значений: $$0<y<\pi$$.

Ответ

Графики получаются из стандартных графиков функций $$y=\arcsin x$$, $$y=\arccos x$$ и $$y=\operatorname{arcctg}x$$ соответствующими сдвигами и растяжениями:
1) влево на $$\frac{3}{2}$$ и сжатием по оси $$x$$ в 2 раза;
2) вправо на 1 и растяжением по оси $$y$$ в 2 раза;
3) стандартный график $$y=\operatorname{arcctg}x$$;
4) сдвиг графика $$y=\operatorname{arcctg}x$$ влево на 1.