Упр.1027 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Выяснить основные свойства и построить график функции:
1) $$y=3x+1$$;
2) $$y=\frac{1}{2}x-3$$;
3) $$y=\log_{2}(x+1)$$;
4) $$y=\log_{\frac{1}{3}}(x-1)$$;
5) $$y=\sqrt{x+1}-2$$;
6) $$y=\sqrt{2x-1}+1$$.
$$y=3^x+1$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty)$$
$$y(-x)=3^{-x}+1\neq y(x),\quad y(-x)\neq -y(x)$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
$$y'(x)=3^x\ln 3>0$$
Значит, функция возрастает на всей области определения.
$$\lim_{x\to-\infty}(3^x+1)=1$$
$$E(y)=(1;+\infty)$$
Для построения графика удобно взять точки:
$$x: 0,\ 1,\ 2$$
$$y: 2,\ 4,\ 10$$
$$y=\left(\frac12\right)^x-3$$
$$D(x)=(-\infty;+\infty)$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
$$y'(x)=\left(\frac12\right)^x\ln\frac12<0$$
Следовательно, функция убывает на всей области определения.
$$\lim_{x\to+\infty}\left(\left(\frac12\right)^x-3\right)=-3$$
$$E(y)=(-3;+\infty)$$
Точки для построения графика:
$$x: -3,\ -2,\ -1,\ 0$$
$$y: 5,\ 1,\ -1,\ -2$$
$$y=\log_2(x+1)$$
Область определения:
$$x+1>0,\quad x>-1$$
$$D(x)=(-1;+\infty)$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
$$y'(x)=\frac{1}{(x+1)\ln 2}>0$$
Значит, функция возрастает на $$(-1;+\infty)$$.
$$E(y)=(-\infty;+\infty)$$
Точки для построения графика:
$$x: 0,\ 1,\ 3,\ 7$$
$$y: 0,\ 1,\ 2,\ 3$$
$$y=\log_{\frac13}(x-1)$$
Область определения:
$$x-1>0,\quad x>1$$
$$D(x)=(1;+\infty)$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
$$y'(x)=\frac{1}{(x-1)\ln\frac13}<0$$
Следовательно, функция убывает на $$(1;+\infty)$$.
$$E(y)=(-\infty;+\infty)$$
Точки для построения графика:
$$x: 2,\ 4,\ 10$$
$$y: 0,\ -1,\ -2$$
$$y=\sqrt{x+1}-2$$
Область определения:
$$x+1\ge 0,\quad x\ge -1$$
$$D(x)=[-1;+\infty)$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
$$y'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x+1}}>0$$
Значит, функция возрастает на своей области определения.
$$y(-1)=\sqrt{0}-2=-2$$
$$E(y)=[-2;+\infty)$$
Точки для построения графика:
$$x: 0,\ 3,\ 8$$
$$y: -1,\ 0,\ 1$$
$$y=\sqrt{2x-1}+1$$
Область определения:
$$2x-1\ge 0,\quad x\ge \frac12$$
$$D(x)=\left[\frac12;+\infty\right)$$
Функция ни чётная, ни нечётная.
$$y'(x)=\frac{2}{2\sqrt{2x-1}}=\frac{1}{\sqrt{2x-1}}>0$$
Следовательно, функция возрастает на своей области определения.
$$y\left(\frac12\right)=\sqrt{0}+1=1$$
$$E(y)=[1;+\infty)$$
Точки для построения графика:
$$x: 1,\ 5$$
$$y: 2,\ 4$$
Ответ
1) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(1;+\infty)$$, функция возрастает;
2) $$D(x)=(-\infty;+\infty),\ E(y)=(-3;+\infty)$$, функция убывает;
3) $$D(x)=(-1;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty)$$, функция возрастает;
4) $$D(x)=(1;+\infty),\ E(y)=(-\infty;+\infty)$$, функция убывает;
5) $$D(x)=[-1;+\infty),\ E(y)=[-2;+\infty)$$, функция возрастает;
6) $$D(x)=\left[\frac12;+\infty\right),\ E(y)=[1;+\infty)$$, функция возрастает.
