Упр.1026 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Построить график функции $$y=\frac{5}{x}-2$$. Показать, что функция убывает на промежутках $$x<2$$ и $$x>2$$. В какой точке график функции пересекает ось ординат?

Рассмотрим функцию $$y=\frac{5}{x-2}.$$

Найдём область определения: знаменатель не должен обращаться в нуль, значит

$$x-2\ne 0,\quad x\ne 2.$$

Следовательно, $$D(y)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$

Найдём производную:

$$y’=\left(\frac{5}{x-2}\right)’=5\cdot (x-2)^{-1}{}’=-\frac{5}{(x-2)^2}.$$

Так как $$\frac{5}{(x-2)^2}>0$$ при всех $$x\ne 2,$$ то

$$y’<0$$ на промежутках $$x<2$$ и $$x>2.$$

Значит, функция убывает на каждом из промежутков $$(-\infty;2)$$ и $$(2;+\infty).$$

Для построения графика отметим асимптоты: $$x=2$$ и $$y=0.$$

Найдём точку пересечения с осью ординат: при $$x=0$$

$$y(0)=\frac{5}{0-2}=-\frac{5}{2}=-2{,}5.$$

Следовательно, график пересекает ось ординат в точке $$\left(0;\,-2{,}5\right).$$

Ответ

Функция убывает на промежутках $$(-\infty;2)$$ и $$(2;+\infty).$$ График пересекает ось ординат в точке $$\left(0;\,-2{,}5\right).$$