Упр.1025 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1025. Построить график функции y = корень 25-x2. Найти по графику промежутки монотонности функции. Доказать, что график данной функции симметричен относительно оси Оу. *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 1025 118

Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{25-x^2}.$$

Найдём область определения:

$$25-x^2\ge 0,$$

$$x^2\le 25,$$

$$-5\le x\le 5.$$

Значит, $$D(y)=[-5;5].$$

Возведём уравнение графика в квадрат:

$$y^2=25-x^2,$$

$$x^2+y^2=25.$$

Это верхняя полуокружность радиуса $$5$$ с центром в начале координат.

Проверим чётность функции:

$$y(-x)=\sqrt{25-(-x)^2}=\sqrt{25-x^2}=y(x).$$

Следовательно, функция чётная, а её график симметричен относительно оси $$Oy.$$

Найдём промежутки монотонности. Производная:

$$y'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{25-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{25-x^2}}.$$

На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется знаком $$-x$$:

• при $$x\in[-5;0]$$ имеем $$y'(x)\ge 0,$$ значит функция возрастает;
• при $$x\in[0;5]$$ имеем $$y'(x)\le 0,$$ значит функция убывает.

Ключевые точки графика: $$(-5;0),\ (0;5),\ (5;0).$$

Ответ

График функции $$y=\sqrt{25-x^2}$$ — верхняя полуокружность радиуса $$5$$ с центром в начале координат. Функция возрастает на $$[-5;0]$$ и убывает на $$[0;5]$$. График симметричен относительно оси $$Oy$$.