Упр.1025 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Построить график функции $$y=\sqrt{25-x^2}$$. Найти по графику промежутки монотонности функции. Доказать, что график данной функции симметричен относительно оси Оу.
Рассмотрим функцию $$y=\sqrt{25-x^2}.$$
Найдём область определения:
$$25-x^2\ge 0,$$
$$x^2\le 25,$$
$$-5\le x\le 5.$$
Значит, $$D(y)=[-5;5].$$
Возведём уравнение графика в квадрат:
$$y^2=25-x^2,$$
$$x^2+y^2=25.$$
Это верхняя полуокружность радиуса $$5$$ с центром в начале координат.
Проверим чётность функции:
$$y(-x)=\sqrt{25-(-x)^2}=\sqrt{25-x^2}=y(x).$$
Следовательно, функция чётная, а её график симметричен относительно оси $$Oy.$$
Найдём промежутки монотонности. Производная:
$$y'(x)=\frac{-2x}{2\sqrt{25-x^2}}=-\frac{x}{\sqrt{25-x^2}}.$$
На области определения знаменатель положителен, поэтому знак производной определяется знаком $$-x$$:
- при $$x\in[-5;0]$$ имеем $$y'(x)\ge 0,$$ значит функция возрастает;
- при $$x\in[0;5]$$ имеем $$y'(x)\le 0,$$ значит функция убывает.
Ключевые точки графика: $$(-5;0),\ (0;5),\ (5;0).$$
Ответ
График функции $$y=\sqrt{25-x^2}$$ — верхняя полуокружность радиуса $$5$$ с центром в начале координат. Функция возрастает на $$[-5;0]$$ и убывает на $$[0;5]$$. График симметричен относительно оси $$Oy$$.
