Упр.1023 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1. Дана функция $$f(x)$$. Найти корни уравнения $$f(x)=a$$, а также наибольшее и наименьшее значения функции, если:
   1) $$f(x)=\frac{\sin^4 x+\cos^4 x}{\sin^6 x+\cos^6 x},\quad a=\frac{10}{7}$$;
   2) $$f(x)=\frac{2\sin^4 x+3\cos^2 x}{2\cos^4 x+\sin^2 x},\quad a=\frac{15}{7}$$.

1. $$f(x)=\frac{\sin^4 x+\cos^4 x}{\sin^6 x+\cos^6 x}, \quad a=\frac{10}{7}.$$

   Обозначим $$t=\sin^2 x$$, тогда $$\cos^2 x=1-t$$ и

   $$\sin^4 x+\cos^4 x=t^2+(1-t)^2=1-2t+2t^2,$$
   $$\sin^6 x+\cos^6 x=t^3+(1-t)^3=1-3t+3t^2.$$

   Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$, то удобнее записать:

   $$f(x)=\frac{1-\frac12\sin^2 2x}{1-\frac34\sin^2 2x}.$$

   Решим уравнение $$f(x)=\frac{10}{7}$$:

   $$\frac{4-2\sin^2 2x}{4-3\sin^2 2x}=\frac{10}{7},$$
   $$28-14\sin^2 2x=40-30\sin^2 2x,$$
   $$16\sin^2 2x=12,$$
   $$\sin^2 2x=\frac34.$$

   Тогда
   $$\sin 2x=\pm \frac{\sqrt3}{2},$$
   откуда
   $$2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$
   Значит,
   $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Найдём наибольшее и наименьшее значения. Пусть $$u=\sin^2 2x$$, тогда $$0\le u\le 1$$ и
   $$f(u)=\frac{4-2u}{4-3u}.$$
   На этом промежутке функция возрастает, поэтому
   $$f_{\min}=f(0)=1,\qquad f_{\max}=f(1)=2.$$

2. $$f(x)=\frac{2\sin^4 x+3\cos^2 x}{2\cos^4 x+\sin^2 x}, \quad a=\frac{15}{7}.$$

   Обозначим $$t=\sin^2 x$$, тогда $$\cos^2 x=1-t$$. Получаем:

   $$f(x)=\frac{2t^2+3(1-t)}{2(1-t)^2+t} =\frac{2t^2-3t+3}{2t^2-3t+2}.$$

   Решим уравнение $$f(x)=\frac{15}{7}$$:

   $$\frac{2t^2-3t+3}{2t^2-3t+2}=\frac{15}{7},$$
   $$14t^2-21t+21=30t^2-45t+30,$$
   $$16t^2-24t+9=0,$$
   $$(4t-3)^2=0.$$

   Значит,
   $$t=\frac34,\qquad \sin^2 x=\frac34.$$
   Тогда
   $$\sin x=\pm \frac{\sqrt3}{2},$$
   откуда
   $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

   Для нахождения экстремумов рассмотрим
   $$f(t)=\frac{2t^2-3t+3}{2t^2-3t+2},\qquad 0\le t\le 1.$$
   Положим $$u=2t^2-3t$$. Тогда $$u\in\left[-\frac98,\,0\right]$$ и
   $$f=\frac{u+3}{u+2}.$$
   Эта функция возрастает по $$u$$, значит
   $$f_{\min}=f\!\left(-\frac98\right)=\frac{15}{7},\qquad f_{\max}=f(0)=\frac32.$$

Ответ

1. $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad f_{\min}=1;\quad f_{\max}=2.$$
2. $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad f_{\min}=\frac{15}{7};\quad f_{\max}=\frac32.$$