Упр.1023 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
1) f(x) = sin4x+cos4x/sin6x+cos6x, a=10/7;
2) f(x) 2sin4x + 3cos2x/2cos4x+sin2x, a=15/7.
$$f(x)=\frac{\sin^4 x+\cos^4 x}{\sin^6 x+\cos^6 x}, \quad a=\frac{10}{7}.$$
Обозначим $$t=\sin^2 x$$, тогда $$\cos^2 x=1-t$$ и
$$ \sin^4 x+\cos^4 x=t^2+(1-t)^2=1-2t+2t^2, $$
$$ \sin^6 x+\cos^6 x=t^3+(1-t)^3=1-3t+3t^2. $$Так как $$\sin^2 x+\cos^2 x=1$$, то удобнее записать:
$$ f(x)=\frac{1-\frac12\sin^2 2x}{1-\frac34\sin^2 2x}. $$
Решим уравнение $$f(x)=\frac{10}{7}$$:
$$ \frac{4-2\sin^2 2x}{4-3\sin^2 2x}=\frac{10}{7}, $$
$$ 28-14\sin^2 2x=40-30\sin^2 2x, $$
$$ 16\sin^2 2x=12, $$
$$ \sin^2 2x=\frac34. $$Тогда
$$ \sin 2x=\pm \frac{\sqrt3}{2}, $$
откуда
$$ 2x=\pm \frac{\pi}{3}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$
Значит,
$$ x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$Найдём наибольшее и наименьшее значения. Пусть $$u=\sin^2 2x$$, тогда $$0\le u\le 1$$ и
$$ f(u)=\frac{4-2u}{4-3u}. $$
На этом промежутке функция возрастает, поэтому
$$ f_{\min}=f(0)=1,\qquad f_{\max}=f(1)=2. $$$$f(x)=\frac{2\sin^4 x+3\cos^2 x}{2\cos^4 x+\sin^2 x}, \quad a=\frac{15}{7}.$$
Обозначим $$t=\sin^2 x$$, тогда $$\cos^2 x=1-t$$. Получаем:
$$ f(x)=\frac{2t^2+3(1-t)}{2(1-t)^2+t} =\frac{2t^2-3t+3}{2t^2-3t+2}. $$
Решим уравнение $$f(x)=\frac{15}{7}$$:
$$ \frac{2t^2-3t+3}{2t^2-3t+2}=\frac{15}{7}, $$
$$ 14t^2-21t+21=30t^2-45t+30, $$
$$ 16t^2-24t+9=0, $$
$$ (4t-3)^2=0. $$Значит,
$$ t=\frac34,\qquad \sin^2 x=\frac34. $$
Тогда
$$ \sin x=\pm \frac{\sqrt3}{2}, $$
откуда
$$ x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z. $$Для нахождения экстремумов рассмотрим
$$ f(t)=\frac{2t^2-3t+3}{2t^2-3t+2},\qquad 0\le t\le 1. $$
Положим $$u=2t^2-3t$$. Тогда $$u\in\left[-\frac98,\,0\right]$$ и
$$ f=\frac{u+3}{u+2}. $$
Эта функция возрастает по $$u$$, значит
$$ f_{\min}=f\!\left(-\frac98\right)=\frac{15}{7},\qquad f_{\max}=f(0)=\frac32. $$
Ответ
- $$x=\pm \frac{\pi}{6}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad f_{\min}=1;\quad f_{\max}=2.$$
- $$x=\pm \frac{\pi}{3}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;\quad f_{\min}=\frac{15}{7};\quad f_{\max}=\frac32.$$
