Упр.1022 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) у = sin2x — корень 3 cos2x;
2) у = 2cos2x + sin2x.

1) $$y=\sin 2x-\sqrt{3}\cos 2x$$

Представим выражение в виде одной тригонометрической функции:

$$ y=2\left(\frac12\sin 2x-\frac{\sqrt3}{2}\cos 2x\right) =2\left(\cos\frac{\pi}{3}\sin 2x-\sin\frac{\pi}{3}\cos 2x\right) =2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right). $$

Так как $$-1\le \sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\le 1,$$ то

$$-2\le 2\sin\left(2x-\frac{\pi}{3}\right)\le 2.$$

Следовательно, наименьшее значение функции равно $$-2,$$ а наибольшее — $$2.$$

2) $$y=2\cos 2x+\sin^2 x$$

Используем формулу $$\cos 2x=1-2\sin^2 x$$:

$$ y=2(1-2\sin^2 x)+\sin^2 x=2-4\sin^2 x+\sin^2 x=2-3\sin^2 x. $$

Так как $$0\le \sin^2 x\le 1,$$ то

$$ 2-3\le 2-3\sin^2 x\le 2, $$

то есть

$$-1\le y\le 2.$$

Значит, наименьшее значение функции равно $$-1,$$ а наибольшее — $$2.$$

Ответ

1) $$-2; \ 2.$$

2) $$-1; \ 2.$$