Упр.1020 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Исследовать на чётность и нечётность и построить график функции:
- $$y=-x^4+4x^2-5$$;
- $$y=x^3-4x$$.
$$y=-x^4+4x^2-5$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=-(-x)^4+4(-x)^2-5=-x^4+4x^2-5=y(x).$$
Значит, функция чётная, её график симметричен относительно оси $$Oy$$.
Найдём производную:
$$y’=-4x^3+8x=4x(2-x^2).$$
Критические точки:
$$4x(2-x^2)=0 \;\Rightarrow\; x=0,\; x=\pm\sqrt2.$$
Исследуем знак производной:
при $$x<-\sqrt2$$ имеем $$y’>0$$,
при $$-\sqrt2<x<0$$ имеем $$y'<0$$,
при $$0<x<\sqrt2$$ имеем $$y’>0$$,
при $$x>\sqrt2$$ имеем $$y'<0$$.Следовательно, функция возрастает на $$(-\infty,-\sqrt2]$$ и $$[0,\sqrt2]$$, убывает на $$[-\sqrt2,0]$$ и $$[\sqrt2,+\infty)$$.
Значения в точках экстремума:
$$y(0)=-5,$$
$$y(\pm\sqrt2)=-(\sqrt2)^4+4(\sqrt2)^2-5=-4+8-5=-1.$$
Для построения отметим несколько точек:
$$y(1)=-2,\quad y(2)=-5,\quad y(3)=-50.$$
График симметричен относительно оси $$Oy$$, имеет максимум в точках $$(-\sqrt2,-1)$$ и $$(\sqrt2,-1)$$, минимум в точке $$(0,-5)$$.
$$y=x^3-4x$$
Проверим чётность:
$$y(-x)=(-x)^3-4(-x)=-x^3+4x=-(x^3-4x)=-y(x).$$
Значит, функция нечётная, её график симметричен относительно начала координат.
Найдём производную:
$$y’=3x^2-4.$$
Критические точки:
$$3x^2-4=0 \;\Rightarrow\; x=\pm \frac{2}{\sqrt3}.$$
Исследуем знак производной:
при $$x<-\frac{2}{\sqrt3}$$ имеем $$y’>0$$,
при $$-\frac{2}{\sqrt3}<x<\frac{2}{\sqrt3}$$ имеем $$y'<0$$,
при $$x>\frac{2}{\sqrt3}$$ имеем $$y’>0$$.Следовательно, функция возрастает на $$\left(-\infty,-\frac{2}{\sqrt3}\right]$$ и $$\left[\frac{2}{\sqrt3},+\infty\right)$$, убывает на $$\left[-\frac{2}{\sqrt3},\frac{2}{\sqrt3}\right]$$.
Значения в точках экстремума:
$$y\!\left(-\frac{2}{\sqrt3}\right)=\left(-\frac{2}{\sqrt3}\right)^3-4\left(-\frac{2}{\sqrt3}\right)=\frac{16}{3\sqrt3},$$
$$y\!\left(\frac{2}{\sqrt3}\right)=\left(\frac{2}{\sqrt3}\right)^3-4\left(\frac{2}{\sqrt3}\right)=-\frac{16}{3\sqrt3}.$$
Для построения отметим точки:
$$y(0)=0,\quad y(1)=-3,\quad y(2)=0,\quad y(3)=15.$$
График нечётный, проходит через начало координат, имеет локальный максимум в точке $$\left(-\frac{2}{\sqrt3},\frac{16}{3\sqrt3}\right)$$ и локальный минимум в точке $$\left(\frac{2}{\sqrt3},-\frac{16}{3\sqrt3}\right).$$
Ответ
1) $$y=-x^4+4x^2-5$$ — чётная функция; график симметричен относительно оси $$Oy$$.
2) $$y=x^3-4x$$ — нечётная функция; график симметричен относительно начала координат.
