Упр.1017 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Выяснить, является ли периодической функция:

1. 1) $$y=2^{5x}-1$$; 2) $$y=2\sqrt{\cos 2x}-1$$.

1. $$y=2^{5x-1}.$$

   Проверим, существует ли ненулевой период $$T$$:

   $$y(x+T)=y(x)$$

   $$2^{5(x+T)-1}=2^{5x-1}.$$

   Так как показательные функции с основанием $$2$$ равны только при равных показателях, получаем:

   $$5(x+T)-1=5x-1,$$

   $$5T=0,$$

   $$T=0.$$

   Ненулевого периода нет, значит функция не является периодической.

2. $$y=2^{\sqrt{\cos^2 x-1}}.$$

   Используем тождество $$\cos^2 x-1=-\sin^2 x$$, тогда

   $$\sqrt{\cos^2 x-1}=\sqrt{-\sin^2 x}.$$

   Для действительных значений функция определена только при $$\cos^2 x-1\ge 0$$, то есть при $$\sin x=0$$. Следовательно,

   $$x=\pi k,\quad k\in\mathbb Z.$$

   На области определения значения функции одинаковы, а сама область повторяется с периодом $$\pi$$, так как

   $$\sin(x+\pi)= -\sin x,\qquad \sin^2(x+\pi)=\sin^2 x.$$

   Значит, функция периодическая с периодом $$\pi$$.

Ответ

1) нет; 2) да, период $$\pi$$.