Упр.1016 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
Выяснить, при каких значениях $$x$$ возрастает функция:
- $$y=\sqrt{x^2-9x-10}$$;
- $$y=\sqrt{7-6x-x^2}$$;
- $$y=\frac{x-3}{x-4}$$;
- $$y=\frac{x-5}{x-6}$$;
- $$y=\frac{1}{x^2-4}$$;
- $$y=\frac{3}{x^2+3x-4}$$.
$$y=\sqrt{x^2-9x-10}$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{2x-9}{2\sqrt{x^2-9x-10}}.$$
Для возрастания нужно, чтобы $$y'(x)\ge 0$$, то есть
$$2x-9\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\ge \frac92.$$
Учтём область определения:
$$x^2-9x-10\ge 0,$$
$$x^2-9x-10=(x+1)(x-10)\ge 0,$$
откуда
$$x\le -1 \quad \text{или} \quad x\ge 10.$$
Пересечение с условием $$x\ge \frac92$$ даёт
$$x\in[10;+\infty).$$
$$y=\sqrt{7-6x-x^2}$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{-6-2x}{2\sqrt{7-6x-x^2}}.$$
Для возрастания:
$$-6-2x\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le -3.$$
Область определения:
$$7-6x-x^2\ge 0,$$
$$x^2+6x-7\le 0,$$
$$x^2+6x-7=(x+7)(x-1)\le 0,$$
откуда
$$x\in[-7;1].$$
Пересечение даёт
$$x\in[-7;-3].$$
$$y=\frac{x-3}{x-4}$$
Область определения: $$x\ne 4.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{(x-4)-(x-3)}{(x-4)^2}=-\frac1{(x-4)^2}.$$
Так как $$y'(x)<0$$ при всех допустимых $$x$$, функция нигде не возрастает.
$$y=\frac{x-5}{x-6}$$
Область определения: $$x\ne 6.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=\frac{(x-6)-(x-5)}{(x-6)^2}=-\frac1{(x-6)^2}.$$
Следовательно, функция нигде не возрастает.
$$y=\frac1{x^2-4}$$
Область определения:
$$x^2-4\ne 0 \quad \Rightarrow \quad x\ne \pm 2.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-\frac{2x}{(x^2-4)^2}.$$
Для возрастания:
$$-\frac{2x}{(x^2-4)^2}\ge 0 \quad \Rightarrow \quad x\le 0.$$
С учётом области определения получаем
$$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;0].$$
$$y=\frac3{x^2+3x-4}$$
Область определения:
$$x^2+3x-4\ne 0,$$
$$x^2+3x-4=(x+4)(x-1),$$
значит, $$x\ne -4,\; x\ne 1.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=-\frac{3(2x+3)}{(x^2+3x-4)^2}.$$
Для возрастания:
$$-\frac{3(2x+3)}{(x^2+3x-4)^2}\ge 0 \quad \Rightarrow \quad 2x+3\le 0,$$
то есть
$$x\le -\frac32.$$
С учётом области определения:
$$x\in(-\infty;-4)\cup(-4;-\frac32].$$
Ответ
1) $$x\in[10;+\infty)$$; 2) $$x\in[-7;-3]$$; 3) функция нигде не возрастает; 4) функция нигде не возрастает; 5) $$x\in(-\infty;-2)\cup(-2;0]$$; 6) $$x\in(-\infty;-4)\cup(-4;-\frac32]$$.
