Упр.1012 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Построить график и выяснить, является ли непрерывной функция:

1. $$y=\begin{cases}\log_2(x-1), & x\leqslant1,\\ \sqrt{x-1}, & x>1;\end{cases}$$
2. $$y=\begin{cases}\frac{1}{2}x-2, & x<1,\\ \sqrt{x-1}, & x\geqslant1;\end{cases}$$
3. $$y=\begin{cases}|x^2-1|, & x<1,\\ |\log_2x|, & x\geqslant1;\end{cases}$$
4. $$y=\begin{cases}|3x-1|, & x<0,\\ \sqrt{x-1}, & x\geqslant0.\end{cases}$$

1. $$y=\begin{cases}\log_2(x-1), & x\le 1,\\ \sqrt{x-1}, & x>1.\end{cases}$$

   Для функции $$\log_2(x-1)$$ нужно $$x-1>0$$, то есть $$x>1$$. Поэтому при $$x\le 1$$ эта ветвь не определена.

   График функции состоит только из ветви $$y=\sqrt{x-1}$$ при $$x>1$$, а в точке $$x=1$$ значение не задано.

   Функция не является непрерывной.

2. $$y=\begin{cases}\left(\dfrac12\right)^x-2, & x<1,\\ \sqrt{x-1}, & x\ge 1.\end{cases}$$

   При $$x<1$$ имеем экспоненциальную функцию, при $$x\ge 1$$ — функцию $$y=\sqrt{x-1}$$.

   Проверим точку склейки $$x=1$$:

   $$\lim\limits_{x\to 1-}\left(\left(\dfrac12\right)^x-2\right)=\dfrac12-2=-\dfrac32,$$

   $$y(1)=\sqrt{1-1}=0.$$

   Левые и правые значения не совпадают, значит, функция не непрерывна.

3. $$y=\begin{cases}|x^2-1|, & x<1,\\ |\log_2 x|, & x\ge 1.\end{cases}$$

   При $$x<1$$:

   $$|x^2-1|=1-x^2,$$ так как $$x^2-1<0$$.

   При $$x\ge 1$$:

   $$|\log_2 x|=\log_2 x,$$ так как $$\log_2 x\ge 0.$$

   Проверим точку $$x=1$$:

   $$\lim\limits_{x\to 1-}(1-x^2)=0,$$

   $$y(1)=|\log_2 1|=0.$$

   Значения совпадают, значит, функция непрерывна.

4. $$y=\begin{cases}|3x-1|, & x<0,\\ \sqrt{x}-1, & x\ge 0.\end{cases}$$

   При $$x<0$$ имеем $$3x-1<0$$, поэтому

   $$|3x-1|=1-3x.$$

   Проверим точку $$x=0$$:

   $$\lim\limits_{x\to 0-}(1-3x)=1,$$

   $$y(0)=\sqrt{0}-1=-1.$$

   Левые и правые значения не совпадают, значит, функция не непрерывна.

Ответ

1) нет; 2) нет; 3) да; 4) нет.