Упр.1011 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Построить график и выяснить, является ли ограниченной функция:

1. 1) $$y=\begin{cases}2x-x^2, & x\leqslant 1,\\ 2-x, & x>1;\end{cases}$$

   2) $$y=\begin{cases}x^2+2x+2, & x<1,\\ \sqrt{x}, & x\geqslant 1.\end{cases}$$

1. $$y=\begin{cases}2x-x^2, & x\le 1,\\ 2-x, & x>1.\end{cases}$$

   При $$x\le 1$$ имеем параболу $$y=2x-x^2$$, ветви которой направлены вниз. Её вершина:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{2}{2\cdot(-1)}=1,$$

   $$y_0=2\cdot 1-1^2=1.$$

   При $$x>1$$ имеем прямую $$y=2-x.$$

   График состоит из части параболы при $$x\le 1$$ и луча прямой при $$x>1$$. Наибольшее значение функции равно $$1$$, а при $$x\to -\infty$$ значения $$y\to -\infty$$. Значит, функция не ограничена снизу.

2. $$y=\begin{cases}x^2+2x+2, & x<1,\\ \sqrt{x}, & x\ge 1.\end{cases}$$

   При $$x<1$$:

   $$x^2+2x+2=(x+1)^2+1.$$

   Это парабола с вершиной $$(-1,1)$$, причём её значения не меньше $$1$$.

   При $$x\ge 1$$ имеем $$y=\sqrt{x}$$, и тогда $$y\ge 1.$$

   Следовательно, вся функция принимает значения не меньше $$1$$, а при $$x\to +\infty$$ значения $$y=\sqrt{x}\to +\infty$$. Значит, функция не ограничена сверху.

Ответ

1) Не ограничена.
2) Не ограничена.