Упр.1009 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Задача

Рассмотрим вариант решения задания из учебника Колягин, Ткачёва, Фёдорова 11 класс, Просвещение: 1009 Сигнал с корабля можно различить в море на расстоянии одной мили. Корабль А идёт на юг, делая 3 мили в час, и в настоящее время находится в 5 милях к западу от корабля В, который идёт на запад со скоростью 4 мили в час. Будут ли корабли на расстоянии, достаточном для приёма сигнала? *Цитирирование задания со ссылкой на учебник производится исключительно в учебных целях для лучшего понимания разбора решения задания. 11 kolyagin11 1009 118

Подробный ответ

Пусть $$t$$ — время в часах после начала наблюдения.

За это время корабль $$A$$ пройдёт на юг $$3t$$ миль, а корабль $$B$$ уйдёт на запад на $$4t$$ миль. Тогда расстояние между кораблями:

$$ S(t)=\sqrt{(3t)^2+(5-4t)^2}. $$

Упростим:

$$ S(t)=\sqrt{9t^2+25-40t+16t^2}=\sqrt{25t^2-40t+25}. $$

Найдём, может ли это расстояние стать меньше или равным 1 миле. Рассмотрим квадрат расстояния:

$$ S^2(t)=25t^2-40t+25. $$

Это квадратный трёхчлен. Его минимум достигается при

$$ t=\frac{-(-40)}{2\cdot 25}=\frac{40}{50}=\frac45. $$

Подставим:

$$ S\!\left(\frac45\right)=\sqrt{25\cdot \frac{16}{25}-40\cdot \frac45+25} =\sqrt{16-32+25} =\sqrt9=3. $$