Упр.1006 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) Построить её график и найти значения х, при которых у(х) < 0. 2) Доказать, что функция убывает на промежутке [1; 2]. 3) Найти значение х, при котором функция принимает наибольшее значение. 4) Найти значения х, при которых график данной функции лежит ниже графика функции у = 3х + 2. 5) Записать уравнения касательных к параболе у = = -2x2 + 3x + 2 в точках с ординатой, равной 3.

1. Приведём функцию к виду $$y=-2x^2+3x+2.$$ Это парабола, ветви направлены вниз, так как $$a=-2<0.$$

   Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{3}{2\cdot(-2)}=\frac34,$$

   $$y_0=-2\left(\frac34\right)^2+3\cdot\frac34+2=\frac{25}{8}.$$

   Для построения удобно взять ещё точки:

   $$y(1)=3,\quad y(2)=0,\quad y(3)=-7.$$

   Тогда график проходит через точки $$\left(1;3\right),\left(2;0\right),\left(3;-7\right)$$ и имеет вершину $$\left(\frac34;\frac{25}{8}\right).$$

   Чтобы найти, при каких $$x$$ выполняется $$y<0,$$ решим неравенство:

   $$-2x^2+3x+2<0.$$

   Найдём корни уравнения $$-2x^2+3x+2=0$$:

   $$2x^2-3x-2=0,$$

   $$D=(-3)^2-4\cdot2\cdot(-2)=9+16=25,$$

   $$x_{1,2}=\frac{3\pm5}{4},\quad x_1=-\frac12,\quad x_2=2.$$

   Так как ветви параболы направлены вниз, то $$y<0$$ при

   $$x<-\frac12 \quad \text{или} \quad x>2.$$

2. Докажем, что функция убывает на промежутке $$[1;2].$$

   Найдём производную:

   $$y’=-4x+3.$$

   На отрезке $$[1;2]$$ имеем

   $$y’=-4x+3\le -4\cdot1+3=-1<0.$$

   Значит, на всём промежутке $$[1;2]$$ функция убывает.

3. Наибольшее значение квадратичная функция с ветвями вниз принимает в вершине параболы. Поэтому максимум достигается при

   $$x=\frac34.$$

4. Найдём, при каких $$x$$ график функции $$y=-2x^2+3x+2$$ лежит ниже графика $$y=3x+2.$$

   Решим неравенство:

   $$-2x^2+3x+2<3x+2,$$

   $$-2x^2<0,$$

   $$x^2>0,$$

   $$x\ne0.$$

5. Найдём касательные к параболе в точках, где ордината равна $$3.$$

   Сначала найдём абсциссы этих точек:

   $$-2x^2+3x+2=3,$$

   $$2x^2-3x+1=0,$$

   $$D=9-8=1,$$

   $$x_{1,2}=\frac{3\pm1}{4},\quad x_1=\frac12,\quad x_2=1.$$

   Производная:

   $$y’=-4x+3.$$

   Угловые коэффициенты касательных:

   $$y’\left(\frac12\right)=-4\cdot\frac12+3=1,\qquad y'(1)=-4+3=-1.$$

   Уравнения касательных:

   $$y-3=1\left(x-\frac12\right),$$

   $$y=\;x+\frac52,$$

   $$y-3=-1(x-1),$$

   $$y=-x+4.$$

Ответ

1) $$x<-\frac12$$ или $$x>2.$$

2) На $$[1;2]$$ функция убывает.

3) $$x=\frac34.$$

4) $$x\ne0.$$

5) $$y=x+\frac52$$ и $$y=-x+4.$$