Упр.1005 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

1) Построить её график и найти значения х > при которых у(х) < 0. 2) Доказать, что функция возрастает на промежутке [1; 4]. 3) Найти значение х, при котором функция принимает наименьшее значение. 4) Найти значения х, при которых график функции у = х2 - 2х - 3 лежит выше графика функции у = -2х + 1. 5) Записать уравнение касательной к параболе у = х2 - 2х - 3 в точке с абсциссой, равной 2.

1. Рассмотрим функцию $$y=x^2-2x-3.$$ Это парабола, ветви направлены вверх.

   Найдём вершину:

   $$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1,$$

   $$y_0=1^2-2\cdot 1-3=-4.$$

   Значит, вершина параболы — точка $$\left(1;-4\right).$$

   Найдём нули функции:

   $$x^2-2x-3=0,$$

   $$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0,$$

   $$x=-1 \text{ или } x=3.$$

   Так как ветви параболы направлены вверх, то $$y<0$$ при

   $$-1<x<3.$$

2. Найдём производную:

   $$y'(x)=2x-2.$$

   На отрезке $$[1;4]$$ имеем:

   $$2x-2\ge 0,$$

   так как $$x\ge 1.$$

   Следовательно, функция возрастает на отрезке $$[1;4].$$

3. Поскольку парабола направлена вверх, наименьшее значение функция принимает в вершине.

   При $$x=1$$:

   $$y_{\min}=1^2-2\cdot 1-3=-4.$$

4. Сравним функции:

   $$x^2-2x-3>-2x+1,$$

   $$x^2-4>0,$$

   $$\left(x-2\right)\left(x+2\right)>0.$$

   Отсюда

   $$x<-2 \text{ или } x>2.$$

5. Найдём уравнение касательной в точке с абсциссой $$x=2.$$

   $$y'(x)=2x-2,$$

   $$y'(2)=2,$$

   $$y(2)=2^2-2\cdot 2-3=-3.$$

   Уравнение касательной:

   $$y=-3+2\left(x-2\right),$$

   $$y=2x-7.$$

Ответ

1) $$-1<x<3$$; 2) функция возрастает на $$[1;4]$$; 3) $$x=1$$, $$y_{\min}=-4$$; 4) $$x<-2$$ или $$x>2$$; 5) $$y=2x-7$$.