Упр.1005 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Дана функция $$y=x^2-2x-3$$.
1) Построить её график и найти значения $$x$$, при которых $$y(x)<0$$.
2) Доказать, что функция возрастает на промежутке $$[1;4]$$.
3) Найти значение $$x$$, при котором функция принимает наименьшее значение.
4) Найти значения $$x$$, при которых график функции $$y=x^2-2x-3$$ лежит выше графика функции $$y=-2x+1$$.
5) Записать уравнение касательной к параболе $$y=x^2-2x-3$$ в точке с абсциссой, равной $$2$$.
Рассмотрим функцию $$y=x^2-2x-3.$$ Это парабола, ветви направлены вверх.
Найдём вершину:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot 1}=1,$$
$$y_0=1^2-2\cdot 1-3=-4.$$
Значит, вершина параболы — точка $$\left(1;-4\right).$$
Найдём нули функции:
$$x^2-2x-3=0,$$
$$\left(x-3\right)\left(x+1\right)=0,$$
$$x=-1 \text{ или } x=3.$$
Так как ветви параболы направлены вверх, то $$y<0$$ при
$$-1<x<3.$$
Найдём производную:
$$y'(x)=2x-2.$$
На отрезке $$[1;4]$$ имеем:
$$2x-2\ge 0,$$
так как $$x\ge 1.$$
Следовательно, функция возрастает на отрезке $$[1;4].$$
Поскольку парабола направлена вверх, наименьшее значение функция принимает в вершине.
При $$x=1$$:
$$y_{\min}=1^2-2\cdot 1-3=-4.$$
Сравним функции:
$$x^2-2x-3>-2x+1,$$
$$x^2-4>0,$$
$$\left(x-2\right)\left(x+2\right)>0.$$
Отсюда
$$x<-2 \text{ или } x>2.$$
Найдём уравнение касательной в точке с абсциссой $$x=2.$$
$$y'(x)=2x-2,$$
$$y'(2)=2,$$
$$y(2)=2^2-2\cdot 2-3=-3.$$
Уравнение касательной:
$$y=-3+2\left(x-2\right),$$
$$y=2x-7.$$
Ответ
1) $$-1<x<3$$; 2) функция возрастает на $$[1;4]$$; 3) $$x=1$$, $$y_{\min}=-4$$; 4) $$x<-2$$ или $$x>2$$; 5) $$y=2x-7$$.
