Упр.1004 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)
- Построить график функции: 1) $$y=2-|x|$$; 2) $$y=|2-x|$$; 3) $$y=|2-x|+|x-3|$$. Выяснить, пересекает ли график каждой из данных функций прямую $$y=3$$. В случае утвердительного ответа найти координаты точек пересечения.
1) $$y=2-|x|$$
Функция чётная, её график симметричен относительно оси $$Oy$$. Вершина графика находится в точке $$\left(0;2\right)$$.
Найдём несколько точек:
$$x=-2 \Rightarrow y=2-2=0, \qquad x=2 \Rightarrow y=2-2=0.$$
График — ломаная с вершиной в точке $$\left(0;2\right)$$, проходящая через точки $$(-2;0)$$ и $$\left(2;0\right)$$.
Проверим пересечение с прямой $$y=3$$:
$$2-|x|=3 \Rightarrow -|x|=1 \Rightarrow |x|=-1,$$
что невозможно. Значит, график прямую $$y=3$$ не пересекает.
2) $$y=|2-x|$$
Это график функции $$y=|x-2|$$, сдвинутый вправо на 2 единицы. Вершина графика: $$\left(2;0\right)$$.
Найдём несколько точек:
$$x=0 \Rightarrow y=|2|=2, \qquad x=4 \Rightarrow y=|2-4|=2.$$
График — V-образная ломаная с вершиной в точке $$\left(2;0\right)$$.
Пересечение с прямой $$y=3$$:
$$|2-x|=3$$
$$2-x=3 \Rightarrow x=-1,$$
$$2-x=-3 \Rightarrow x=5.$$
Значит, точки пересечения: $$(-1;3)$$ и $$\left(5;3\right)$$.
3) $$y=|2-x|+|x-3|$$
Рассмотрим по промежуткам:
$$y= \begin{cases} 2-x+3-x=5-2x, & x<2,\\ 2-x+x-3=-1, & 2\le x\le 3,\\ x-2+x-3=2x-5, & x>3. \end{cases}$$
Но так как $$|2-x|=|x-2|$$, удобнее записать:
$$y= \begin{cases} 5-2x, & x<2,\\ 1, & 2\le x\le 3,\\ 2x-5, & x>3. \end{cases}$$
Точки излома:
$$x=2 \Rightarrow y=|2-2|+|2-3|=1,$$
$$x=3 \Rightarrow y=|2-3|+|3-3|=1.$$
Следовательно, график имеет горизонтальный участок $$y=1$$ на отрезке $$[2;3]$$.
Пересечение с прямой $$y=3$$:
$$|2-x|+|x-3|=3.$$
Решим по частям.
1) При $$x<2$$:
$$5-2x=3 \Rightarrow x=1.$$
2) При $$2\le x\le 3$$:
$$1=3,$$
решений нет.
3) При $$x>3$$:
$$2x-5=3 \Rightarrow x=4.$$
Значит, точки пересечения: $$\left(1;3\right)$$ и $$\left(4;3\right)$$.
Ответ
1) Не пересекает.
2) $$(-1;3)$$, $$\left(5;3\right)$$.
3) $$\left(1;3\right)$$, $$\left(4;3\right)$$.
