Упр.10 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Доказать ограниченность функции:

1. а) $$y=\frac{\cos x}{1{,}5-\sin x}$$;
   б) $$y=\frac{1}{\sqrt{3}-(\sin x+\cos x)}$$.

1. $$y=\frac{\cos x}{1{,}5-\sin x}$$

   Так как $$-1\le \sin x\le 1,$$ то

   $$0{,}5\le 1{,}5-\sin x\le 2{,}5.$$

   Следовательно,

   $$\frac{2}{5}\le \frac{1}{1{,}5-\sin x}\le 2.$$

   Кроме того, $$-1\le \cos x\le 1.$$

   Тогда

   $$-2\le \frac{\cos x}{1{,}5-\sin x}\le 2.$$

   Значит, функция ограничена.

2. $$y=\frac{1}{\sqrt{3}-(\sin x+\cos x)}$$

   Преобразуем сумму:

   $$\sin x+\cos x=\sqrt{2}\left(\sin x\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}+\cos x\cdot \frac{1}{\sqrt{2}}\right)=\sqrt{2}\sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right).$$

   Так как $$-1\le \sin\left(x+\frac{\pi}{4}\right)\le 1,$$ то

   $$-\sqrt{2}\le \sin x+\cos x\le \sqrt{2}.$$

   Тогда

   $$\sqrt{3}-\sqrt{2}\le \sqrt{3}-(\sin x+\cos x)\le \sqrt{3}+\sqrt{2}.$$

   Поскольку $$\sqrt{3}-\sqrt{2}>0,$$ получаем

   $$\frac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}\le \frac{1}{\sqrt{3}-(\sin x+\cos x)}\le \frac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}.$$

   Следовательно, функция ограничена.

Ответ

Обе функции ограничены.