Упр.1 ГДЗ Колягин Ткачёва 11 класс (Алгебра)

Найдите область определения функции:

1. $$y=\sin 2x$$;
2. $$y=\frac{\cos x}{2}$$;
3. $$y=\cos\frac{1}{x}$$;
4. $$y=\sin\frac{2}{x}$$;
5. $$y=\sin\sqrt{x}$$;
6. $$y=\cos\frac{\sqrt{x-1}}{x+1}$$.

1. $$y=\sin 2x$$

   Функция синуса определена при любых значениях аргумента, значит

   $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

2. $$y=\cos \frac{x}{2}$$

   Функция косинуса определена при любых значениях аргумента, значит

   $$D(y)=(-\infty;+\infty).$$

3. $$y=\cos \frac{1}{x}$$

   Выражение $$\frac{1}{x}$$ имеет смысл при $$x\ne 0$$, поэтому

   $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

4. $$y=\sin \frac{2}{x}$$

   Знаменатель не должен быть равен нулю, значит $$x\ne 0$$.

   $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$

5. $$y=\sin \sqrt{x}$$

   Подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

   $$x\ge 0.$$

   Следовательно,

   $$D(y)=[0;+\infty).$$

6. $$y=\cos \sqrt{\frac{x-1}{x+1}}$$

   Нужно, чтобы дробь под корнем была неотрицательной и знаменатель не обращался в нуль:

   $$\frac{x-1}{x+1}\ge 0,\qquad x\ne -1.$$

   Решая неравенство методом интервалов, получаем:

   $$x\in(-\infty;-1)\cup[1;+\infty).$$

Ответ

1) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$;
2) $$D(y)=(-\infty;+\infty)$$;
3) $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;
4) $$D(y)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty)$$;
5) $$D(y)=[0;+\infty)$$;
6) $$D(y)=(-\infty;-1)\cup[1;+\infty).$$