Упр.99 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите область значений каждой из функций:

а) $$y=\frac{1}{1+\sin(2x)}$$; б) $$y=\sqrt{1-\cos(4x)}$$; в) $$y=\frac{3}{\cos(x)-1}$$; г) $$y=\tg(x)+\ctg(x)$$.

Найдём область значений каждой функции.

1. $$y=\frac{1}{1+\sin 2x}$$

   Так как $$-1\le \sin 2x\le 1,$$ то

   $$0\le 1+\sin 2x\le 2.$$

   Знаменатель не может быть равен нулю, значит

   $$1+\sin 2x\in(0;2].$$

   Тогда

   $$y=\frac{1}{1+\sin 2x}\ge \frac12.$$

   При этом значение $$\frac12$$ достигается, когда $$\sin 2x=1.$$

   Область значений: $$[0{,}5;+\infty).$$

2. $$y=\sqrt{1-\cos 4x}$$

   Так как $$-1\le \cos 4x\le 1,$$ то

   $$0\le 1-\cos 4x\le 2.$$

   Следовательно,

   $$0\le y\le \sqrt2.$$

   Область значений: $$[0;\sqrt2].$$

3. $$y=\frac{3}{\cos x-1}$$

   Так как $$-1\le \cos x\le 1,$$ то

   $$-2\le \cos x-1\le 0.$$

   Значит, $$\cos x-1\in[-2;0),$$ и потому

   $$y=\frac{3}{\cos x-1}\le -\frac32.$$

   Значение $$-\frac32$$ достигается при $$\cos x=-1.$$

   Область значений: $$(-\infty;-1{,}5].$$

4. $$y=\tg x+\ctg x$$

   Положим $$t=\tg x,$$ тогда $$\ctg x=\frac1t,$$ где $$t\ne 0.$$ Получаем

   $$y=t+\frac1t.$$

   Если $$t>0,$$ то по неравенству между средним арифметическим и геометрическим

   $$t+\frac1t\ge 2.$$

   Если $$t<0,$$ то

   $$t+\frac1t\le -2.$$

   Следовательно,

   область значений: $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$

Ответ: а) $$[0{,}5;+\infty)$$; б) $$[0;\sqrt2]$$; в) $$(-\infty;-1{,}5]$$; г) $$(-\infty;-2]\cup[2;+\infty).$$