Упр.99 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Числа $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+px+q=0$$. Выразите через $$p$$ и $$q$$: а) $$x_1^2+x_2^2$$; б) $$x_1^3+x_2^3$$; в) $$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}$$; г) $$x_1^4+x_2^4$$.

Пусть $$x_1$$ и $$x_2$$ — корни уравнения $$x^2+px+q=0$$. Тогда по теореме Виета

$$x_1+x_2=-p,\qquad x_1x_2=q.$$

1. Найдём сумму квадратов:

   $$x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=p^2-2q.$$

2. Найдём сумму кубов:

   $$x_1^3+x_2^3=(x_1+x_2)(x_1^2-x_1x_2+x_2^2).$$

   Так как

   $$x_1^2-x_1x_2+x_2^2=(x_1^2+x_2^2)-x_1x_2=(p^2-2q)-q=p^2-3q,$$

   то

   $$x_1^3+x_2^3=(-p)(p^2-3q)=3pq-p^3.$$

3. Найдём сумму обратных квадратов:

   $$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{x_1^2x_2^2}.$$

   С учётом $$x_1^2+x_2^2=p^2-2q$$ и $$x_1^2x_2^2=(x_1x_2)^2=q^2$$ получаем

   $$\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{p^2-2q}{q^2}.$$

4. Найдём сумму четвёртых степеней:

   $$x_1^4+x_2^4=(x_1^2+x_2^2)^2-2x_1^2x_2^2.$$

   Подставим найденные значения:

   $$x_1^4+x_2^4=(p^2-2q)^2-2q^2=p^4-4p^2q+2q^2.$$

Ответ

а) $$p^2-2q$$; б) $$3pq-p^3$$; в) $$\frac{p^2-2q}{q^2}$$; г) $$p^4-4p^2q+2q^2$$.