Упр.99 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=x^2-2|x|+1=(|x|)^2-2|x|+1=(|x|-1)^2.$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Область значений: $$E(f)=[0;+\infty).$$
Функция чётная.
Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=(|0|-1)^2=1,$$ значит, точка пересечения с осью ординат: $$\,(0;1).$$
Решим уравнение $$f(x)=0$$:
$$(|x|-1)^2=0 \\\\ |x|=1 \\\\ x=\pm 1.$$
Точки пересечения с осью абсцисс: $$(-1;0)$$ и $$(1;0).$$
Минимум функции: $$f_{\min}=0$$ при $$x=\pm 1.$$
Функция убывает на промежутках $$(-\infty;-1]$$ и $$[0;1],$$ возрастает на промежутках $$[-1;0]$$ и $$[1;+\infty).$$
б) $$f(x)=\dfrac{x+1}{x-1}.$$
Область определения: $$x\ne 1,$$ то есть $$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
Область значений: $$E(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty).$$
Точка пересечения с осью ординат:
$$f(0)=\dfrac{0+1}{0-1}=-1,$$ значит, $$\,(0;-1).$$
Точка пересечения с осью абсцисс:
$$\dfrac{x+1}{x-1}=0 \\\\ x+1=0 \\\\ x=-1.$$
Значит, точка $$(-1;0).$$
Функция убывает на всей области определения. Вертикальная асимптота: $$x=1,$$ горизонтальная асимптота: $$y=1.$$
в) $$f(x)=|x|-x^2.$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Область значений: $$E(f)=(-\infty;0{,}25].$$
Функция чётная.
Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=|0|-0^2=0,$$ значит, график проходит через начало координат: $$\,(0;0).$$
Решим уравнение $$f(x)=0$$:
$$|x|-x^2=0 \\\\ |x|(1-|x|)=0 \\\\ x=0,\; x=\pm 1.$$
Точки пересечения с осью абсцисс: $$(-1;0),\,(0;0),\,(1;0).$$
Максимум функции достигается при $$x=\pm 0{,}5$$:
$$f(\pm 0{,}5)=0{,}5-0{,}25=0{,}25.$$
Значит, $$f_{\max}=0{,}25.$$
Функция возрастает на промежутках $$(-\infty;-0{,}5]$$ и $$[0;0{,}5],$$ убывает на промежутках $$[-0{,}5;0]$$ и $$[0{,}5;+\infty).$$
г) $$f(x)=\dfrac{2x+1}{x}=2+\dfrac{1}{x}.$$
Область определения: $$x\ne 0,$$ то есть $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Область значений: $$E(f)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty).$$
Точки пересечения с осями координат:
с осью ординат график не пересекается, так как $$x=0$$ не входит в область определения;
с осью абсцисс:
$$\dfrac{2x+1}{x}=0 \\\\ 2x+1=0 \\\\ x=-\dfrac12.$$
Значит, точка $$\left(-\dfrac12;0\right).$$
Функция убывает на всей области определения. Вертикальная асимптота: $$x=0,$$ горизонтальная асимптота: $$y=2.$$
Ответ
а) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=[0;+\infty),\ f_{\min}=0,\ x=\pm1,\ (0;1).$$
б) $$D(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty),\ E(f)=(-\infty;1)\cup(1;+\infty),\ (-1;0),\ (0;-1),\ x=1,\ y=1.$$
в) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=(-\infty;0{,}25],\ f_{\max}=0{,}25,\ x=-1,0,1,\ (0;0).$$
г) $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty),\ E(f)=(-\infty;2)\cup(2;+\infty),\ \left(-\dfrac12;0\right),\ x=0,\ y=2.$$
