Упр.98 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите область значений каждой из функций: а) $$y=1-3\sin\left(\frac{x}{2}\right)$$; б) $$y=2\cos(x)\operatorname{tg}(x)$$; в) $$y=2+3\cos(5x)$$; г) $$y=2\left|\sin(x)\right|-1$$.

а) Так как $$-1 \le \sin \frac{x}{2} \le 1,$$ то

$$-3 \le -3\sin \frac{x}{2} \le 3,$$

$$-2 \le 1-3\sin \frac{x}{2} \le 4.$$

Ответ: $$[-2;4].$$

б) $$y=2\cos x \tg x=2\cos x\cdot \frac{\sin x}{\cos x}=2\sin x,$$

где $$\cos x\ne 0.$$ Тогда $$-1 \le \sin x \le 1,$$ значит

$$-2 \le 2\sin x \le 2.$$

Значения $$y=\pm 2$$ не достигаются, так как при $$\sin x=\pm 1$$ имеем $$\cos x=0,$$ а исходное выражение не определено.

Ответ: $$(-2;2).$$

в) Так как $$-1 \le \cos 5x \le 1,$$ то

$$-3 \le 3\cos 5x \le 3,$$

$$-1 \le 2+3\cos 5x \le 5.$$

Ответ: $$[-1;5].$$

г) Поскольку $$0 \le |\sin x| \le 1,$$ получаем

$$0 \le 2|\sin x| \le 2,$$

$$-1 \le 2|\sin x|-1 \le 1.$$

Ответ: $$[-1;1].$$