Упр.98 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. а) Для каких значений $$a$$ один из корней уравнения $$(a-2)x^2-2(a+3)x+4a=0$$ больше 3, а другой меньше 2? б) Найдите все значения $$a$$, при которых оба корня уравнения $$(2a+3)x^2+(a+1)x+4=0$$ принадлежат отрезку $$[-2; 0]$$.

а) Рассмотрим квадратный трёхчлен

$$f(x)=(a-2)x^2-2(a+3)x+4a.$$

Чтобы один корень был больше $$3$$, а другой меньше $$2$$, достаточно и необходимо, чтобы:

• $$f(2)<0,$$
• $$f(3)<0,$$
• ветви параболы были направлены вверх: $$a-2>0.$$

Вычислим:

$$f(2)=4(a-2)-4(a+3)+4a=4a-20,  4a-20<0,\; a<5.$$

$$f(3)=9(a-2)-6(a+3)+4a=7a-36,  7a-36<0,\; a<\frac{36}{7}.$$

Совмещая условия, получаем:

$$2<a<5.$$

б) Пусть

$$g(x)=(2a+3)x^2+(a+1)x+4.$$

Чтобы оба корня принадлежали отрезку $$[-2;0]$$, необходимо:

• $$g(-2)>0,$$
• $$g(0)>0,$$
• $$D\ge 0,$$
• ветви параболы были направлены вверх: $$2a+3>0.$$

Вычислим:

$$g(-2)=4(2a+3)-2(a+1)+4=6a+14,  6a+14>0,\; a>-\frac{7}{3}.$$

$$g(0)=4>0.$$

Дискриминант:

$$D=(a+1)^2-4\cdot(2a+3)=a^2-6a-11\ge 0.$$

Решим неравенство:

$$a^2-6a-11\ge 0.$$

Корни уравнения $$a^2-6a-11=0$$:

$$a=\frac{6\pm\sqrt{36+44}}{2}=3\pm 2\sqrt5.$$

Значит,

$$a\le 3-2\sqrt5 \quad \text{или} \quad a\ge 3+2\sqrt5.$$

С учётом условия $$2a+3>0$$ получаем:

$$a>-\frac32.$$

Пересечение всех условий даёт:

$$a\ge 3+2\sqrt5.$$

Ответ

а) $$2<a<5$$; б) $$a\ge 3+2\sqrt5$$.