Упр.98 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=x^4+4x^2=x^2(x^2+4).$$

$$D(f)=\mathbb{R}, \qquad E(f)=[0;+\infty).$$

Функция чётная, так как $$f(-x)=(-x)^4+4(-x)^2=x^4+4x^2=f(x).$$

Найдём точки пересечения с осями координат:

$$f(0)=0,$$ значит, график проходит через точку $$(0;0).$$

Так как $$x^2\ge 0$$ и $$x^2+4>0$$ при всех $$x,$$ то

$$f(x)\ge 0,$$ причём $$f(x)=0$$ только при $$x=0.$$

Следовательно, функция убывает на $$(-\infty;0)$$ и возрастает на $$(0;+\infty).$$

Минимум функции: $$x_{\min}=0,\qquad y_{\min}=0.$$

б) $$f(x)=1-\sqrt{x+4}.$$

Область определения задаётся условием

$$x+4\ge 0,\qquad x\ge -4,$$

то есть $$D(f)=[-4;+\infty).$$

Так как $$\sqrt{x+4}\ge 0,$$ то

$$f(x)=1-\sqrt{x+4}\le 1,$$

следовательно, $$E(f)=(-\infty;1].$$

Точка пересечения с осью ординат:

$$f(0)=1-\sqrt{4}=-1,$$

то есть $$(0;-1).$$

Точка пересечения с осью абсцисс:

$$1-\sqrt{x+4}=0,$$

$$\sqrt{x+4}=1,$$

$$x+4=1,$$

$$x=-3,$$

то есть $$(-3;0).$$

Функция убывает на всей области определения, так как при увеличении $$x$$ значение $$\sqrt{x+4}$$ возрастает, а значит, $$1-\sqrt{x+4}$$ убывает.

Максимум функции: $$x_{\max}=-4,\qquad y_{\max}=1.$$

в) $$f(x)=x^3+x=x(x^2+1).$$

$$D(f)=\mathbb{R}, \qquad E(f)=\mathbb{R}.$$

Точка пересечения с осями координат:

$$f(0)=0,$$ значит, $$(0;0).$$

Так как $$x^2+1>0$$ при всех $$x,$$ то знак функции совпадает со знаком $$x$$:

$$f(x)>0 \text{ при } x>0,\qquad f(x)<0 \text{ при } x<0.$$

Докажем, что функция возрастает на всей числовой оси. Пусть $$x_2>x_1$$. Тогда

$$f(x_2)-f(x_1)=(x_2^3+x_2)-(x_1^3+x_1) =(x_2-x_1)(x_2^2+x_2x_1+x_1^2+1)>0.$$

Значит, $$f(x_2)>f(x_1),$$ то есть функция возрастает на $$\mathbb{R}.$$

Функция нечётная, так как

$$f(-x)=(-x)^3+(-x)=-x^3-x=-f(x).$$

Следовательно, график симметричен относительно начала координат. Экстремумов нет.

г) $$f(x)=\sqrt{x-2}-2.$$

Область определения:

$$x-2\ge 0,\qquad x\ge 2,$$

то есть $$D(f)=[2;+\infty).$$

Так как $$\sqrt{x-2}\ge 0,$$ то

$$f(x)\ge -2,$$

следовательно, $$E(f)=[-2;+\infty).$$

Точка пересечения с осью ординат отсутствует, так как $$x=0\notin D(f).$$

Точка пересечения с осью абсцисс:

$$\sqrt{x-2}-2=0,$$

$$\sqrt{x-2}=2,$$

$$x-2=4,$$

$$x=6,$$

то есть $$(6;0).$$

Функция возрастает на всей области определения, так как при увеличении $$x$$ возрастает $$\sqrt{x-2}.$$

Минимум функции: $$x_{\min}=2,\qquad y_{\min}=-2.$$