Упр.97 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

1. Найдите область определения каждой из функций: а) $$y=\sqrt{\sin(x)\cos(x)}$$; б) $$y=\sqrt{x\operatorname{tg}(x)}$$; в) $$y=\sqrt{\sin^2(x)-\cos^2(x)}$$; г) $$y=\sqrt{\sin(x)}+\sqrt{\cos(x)}$$.

а) Для функции $$y=\sqrt{\sin x\cos x}$$ подкоренное выражение должно быть неотрицательным:

$$\sin x\cos x\ge 0.$$

Так как $$\sin 2x=2\sin x\cos x,$$ то

$$\sin 2x\ge 0.$$

Отсюда

$$\pi n\le 2x\le \frac{\pi}{2}+\pi n,$$

то есть

$$\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

б) Для функции $$y=\sqrt{x}\,\tg x$$ нужно, чтобы существовали и $$\sqrt{x},$$ и $$\tg x$$:

$$x\ge 0,$$

$$\cos x\ne 0,$$

то есть

$$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Следовательно, область определения: все $$x\ge 0,$$ кроме точек $$\frac{\pi}{2}+\pi n.$$

в) Для функции $$y=\sqrt{\sin^2 x-\cos^2 x}$$ требуется

$$\sin^2 x-\cos^2 x\ge 0.$$

Так как $$\sin^2 x-\cos^2 x=-\cos 2x,$$ получаем

$$\cos 2x\le 0.$$

Отсюда

$$\frac{\pi}{2}+\pi n\le 2x\le \frac{3\pi}{2}+\pi n,$$

значит,

$$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{3\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in\mathbb Z.$$

г) Для функции $$y=\sqrt{\sin x}+\sqrt{\cos x}$$ должны выполняться оба условия:

$$\sin x\ge 0,$$

$$\cos x\ge 0.$$

Тогда

$$2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\quad n\in\mathbb Z.$$

Ответ

а) $$\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;$$
б) $$x\ge 0,\ x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in\mathbb Z;$$
в) $$\frac{\pi}{4}+\frac{\pi n}{2}\le x\le \frac{3\pi}{4}+\frac{\pi n}{2},\ n\in\mathbb Z;$$
г) $$2\pi n\le x\le \frac{\pi}{2}+2\pi n,\ n\in\mathbb Z.$$