Упр.97 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
- Найдите значения $$a$$, при которых данное уравнение имеет решение. Найдите знаки корней: а) $$x^2-2(a-1)x+2a+1=0$$; б) $$(a-3)x^2-2(3a-4)x+7a-6=0$$.
а) Рассмотрим уравнение
$$x^2-2(a-1)x+2a+1=0.$$
Чтобы уравнение имело действительные корни, нужно, чтобы дискриминант был неотрицателен:
$$D=4(a-1)^2-4(2a+1)\ge 0,$$
$$4(a^2-2a+1-2a-1)\ge 0,$$
$$4(a^2-4a)\ge 0,$$
$$a(a-4)\ge 0.$$
Отсюда
$$a\le 0 \quad \text{или} \quad a\ge 4.$$
Найдём знаки корней по Виету:
$$x_1x_2=2a+1,\qquad x_1+x_2=2(a-1).$$
Для корней разных знаков нужно
$$x_1x_2<0 \;\Rightarrow\; 2a+1<0 \;\Rightarrow\; a<-\frac12.$$
Для положительности обоих корней нужно
$$x_1x_2>0,\qquad x_1+x_2>0,$$
то есть
$$a\ge 4.$$
Для отрицательности обоих корней нужно
$$x_1x_2>0,\qquad x_1+x_2<0,$$
то есть
$$-\frac12<a\le 0.$$
б) Рассмотрим уравнение
$$(a-3)x^2-2(3a-4)x+7a-6=0.$$
Чтобы уравнение имело действительные корни, требуется
$$D=4(3a-4)^2-4(a-3)(7a-6)\ge 0.$$
Раскроем скобки:
$$4(9a^2-24a+16-7a^2+27a-18)\ge 0,$$
$$4(2a^2+3a-2)\ge 0,$$
$$2a^2+3a-2\ge 0.$$
Решим квадратное неравенство:
$$2a^2+3a-2=0,$$
$$D=3^2+4\cdot 2\cdot 2=25,$$
$$a_{1,2}=\frac{-3\pm 5}{4}.$$
Получаем
$$a_1=-2,\qquad a_2=\frac12,$$
значит
$$a\le -2 \quad \text{или} \quad a\ge \frac12.$$
По Виету:
$$x_1x_2=\frac{7a-6}{a-3},\qquad x_1+x_2=\frac{2(3a-4)}{a-3}.$$
Для корней разных знаков нужно
$$\frac{7a-6}{a-3}<0,$$
откуда
$$\frac67<a<3.$$
Для положительности обоих корней нужно
$$\frac{7a-6}{a-3}>0,\qquad \frac{2(3a-4)}{a-3}>0,$$
то есть
$$\frac12\le a<\frac43 \quad \text{или} \quad a>3.$$
Для отрицательности обоих корней нужно
$$\frac{7a-6}{a-3}>0,\qquad \frac{2(3a-4)}{a-3}<0,$$
то есть
$$a\le -2.$$
Ответ
а) Уравнение имеет действительные корни при $$a\le 0$$ или $$a\ge 4$$; оба корня положительны при $$a\ge 4$$; оба корня отрицательны при $$-\frac12<a\le 0$$; корни разных знаков при $$a<-\frac12$$.
б) Уравнение имеет действительные корни при $$a\le -2$$ или $$a\ge \frac12$$; оба корня положительны при $$\frac12\le a<\frac43$$ или $$a>3$$; оба корня отрицательны при $$a\le -2$$; корни разных знаков при $$\frac67<a<3$$.
