Упр.97 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

а) $$f(x)=\sqrt{x-3}$$

Область определения: $$x-3\ge 0,\quad x\ge 3,$$ значит $$D(f)=[3;+\infty).$$

Область значений: $$E(f)=[0;+\infty).$$

Пересечение с осью $$Oy$$ отсутствует, так как $$x=0\notin D(f).$$

Пересечение с осью $$Ox$$ найдём из уравнения

$$\sqrt{x-3}=0 \Rightarrow x-3=0 \Rightarrow x=3.$$

Точка пересечения: $$(3;0).$$

Функция возрастает на всей области определения.

б) $$f(x)=4x-x^2$$

Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$

Пересечение с осью $$Oy$$:

$$f(0)=4\cdot 0-0^2=0,$$

то есть точка $$(0;0).$$

Пересечение с осью $$Ox$$:

$$4x-x^2=0 \Rightarrow x(4-x)=0 \Rightarrow x=0 \text{ или } x=4.$$

Точки пересечения: $$(0;0) \text{ и } (4;0).$$

Найдём вершину параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{4}{2\cdot(-1)}=2,$$

$$y_0=f(2)=4\cdot 2-2^2=8-4=4.$$

Вершина: $$(2;4).$$

Так как $$a=-1<0,$$ ветви параболы направлены вниз, поэтому

$$E(f)=(-\infty;4].$$

Функция возрастает на $$(-\infty;2]$$ и убывает на $$[2;+\infty).$$

в) $$f(x)=\sqrt{x+1}$$

Область определения: $$x+1\ge 0,\quad x\ge -1,$$ значит $$D(f)=[-1;+\infty).$$

Область значений: $$E(f)=[0;+\infty).$$

Пересечение с осью $$Oy$$:

$$f(0)=\sqrt{0+1}=1,$$

то есть точка $$(0;1).$$

Пересечение с осью $$Ox$$:

$$\sqrt{x+1}=0 \Rightarrow x+1=0 \Rightarrow x=-1.$$

Точка пересечения: $$(-1;0).$$

Функция возрастает на всей области определения.

г) $$f(x)=4-x^2$$

Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$

Пересечение с осью $$Oy$$:

$$f(0)=4-0^2=4,$$

то есть точка $$(0;4).$$

Пересечение с осью $$Ox$$:

$$4-x^2=0 \Rightarrow x^2=4 \Rightarrow x=\pm 2.$$

Точки пересечения: $$(-2;0) \text{ и } (2;0).$$

Вершина параболы:

$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{0}{2\cdot(-1)}=0,$$

$$y_0=f(0)=4.$$

Вершина: $$(0;4).$$

Так как $$a=-1<0,$$ ветви параболы направлены вниз, поэтому

$$E(f)=(-\infty;4].$$

Функция возрастает на $$(-\infty;0]$$ и убывает на $$[0;+\infty).$$

Ответ

а) $$D(f)=[3;+\infty),\ E(f)=[0;+\infty),\ (3;0).$$
б) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=(-\infty;4],\ (0;0),\ (4;0),\ (2;4).$$
в) $$D(f)=[-1;+\infty),\ E(f)=[0;+\infty),\ (-1;0),\ (0;1).$$
г) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=(-\infty;4],\ (-2;0),\ (2;0),\ (0;4).$$