Упр.96 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Найдите область определения каждой из функций: а) $$y=\frac{2}{\cos^2(x)}$$; б) $$y=\frac{1}{1+2\sin(2x)}$$; в) $$y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cos(x)-\frac{3}{2}}$$; г) $$y=\frac{x}{\sin\left(\frac{x}{2}\right)\cos\left(\frac{x}{2}\right)}$$.

Найдём значения аргумента, при которых знаменатель каждой дроби не равен нулю.

1. $$y=\frac{2}{\cos^2 x}$$

   Знаменатель не должен обращаться в нуль:

   $$\cos^2 x\ne 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x\ne 0.$$

   Следовательно,

   $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

2. $$y=\frac{1}{1+2\sin 2x}$$

   Требуем:

   $$1+2\sin 2x\ne 0 \quad \Rightarrow \quad \sin 2x\ne -\frac12.$$

   Решения уравнения $$\sin 2x=-\frac12$$ имеют вид

   $$2x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{6}+\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

   Тогда

   $$x=(-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\quad n\in \mathbb{Z}.$$

3. $$y=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}\cos x-\frac32}$$

   Знаменатель не равен нулю:

   $$\sqrt{3}\cos x-\frac32\ne 0 \quad \Rightarrow \quad \cos x\ne \frac{\sqrt{3}}{2}.$$

   Отсюда

   $$x\ne \pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

4. $$y=\frac{x}{\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}$$

   Знаменатель не должен быть равен нулю:

   $$\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}\ne 0.$$

   Так как

   $$\sin x=2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2},$$

   то достаточно требовать

   $$\sin x\ne 0 \quad \Rightarrow \quad x\ne \pi n,\quad n\in \mathbb{Z}.$$

Ответ

а) $$x\ne \frac{\pi}{2}+\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$
б) $$x\ne (-1)^{n+1}\frac{\pi}{12}+\frac{\pi n}{2},\ n\in \mathbb{Z};$$
в) $$x\ne \pm \frac{\pi}{6}+2\pi n,\ n\in \mathbb{Z};$$
г) $$x\ne \pi n,\ n\in \mathbb{Z}.$$