Упр.96 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Задача

Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию:

а) $$v(x+y)?v|x|$$; б) $$|x|-|y|\frac{1}{y}$$; е) $$\sin(x)>\sin(y)$$; ж) $$\min(x;y)=1$$; з) $$xy+1?0$$.

Подробный ответ

а) $$\sqrt{x+y}\ge \sqrt{|x|}.$$

Так как обе части неотрицательны, возведём неравенство в квадрат:

$$x+y\ge |x|.$$

Рассмотрим случаи.

Если $$x\ge 0,$$ то $$|x|=x,$$ и получаем $$x+y\ge x,$$ значит $$y\ge 0.$$
Если $$x<0,$$ то $$|x|=-x,$$ и получаем $$x+y\ge -x,$$ значит $$y\ge -2x.$$

Итак, множество точек задаётся условиями:

$$x\ge 0,\ y\ge 0;\qquad x<0,\ y\ge -2x.$$

б) $$|x|-|y|<a.$$

Перепишем как

$$|y|>|x|-a.$$

Граница множества определяется прямыми

$$y=x-a,\qquad y=-x+a,\qquad y=x+a,\qquad y=-x-a,$$

а само множество — область между соответствующими лучами, симметричная относительно осей координат. При построении нужно учитывать знак числа $$a$$.

в) $$[x]\le [y].$$

Здесь $$[x]$$ и $$[y]$$ — целые части чисел. Неравенство означает, что целая часть числа $$x$$ не превосходит целой части числа $$y$$. Поэтому для каждого фиксированного $$x$$ берутся все точки с $$y$$, у которых $$[y]\ge [x].$$

Граница состоит из ступенчатых линий $$y=n$$ и вертикальных переходов в точках целых $$x$$.

г) $$\{x\}\ge \{y\}.$$

Здесь $$\{x\}$$ и $$\{y\}$$ — дробные части чисел. Тогда условие означает, что дробная часть $$x$$ не меньше дробной части $$y$$. Множество точек заполняет полосы, соответствующие сравнению дробных частей в каждом единичном квадрате координатной плоскости.

д) $$\frac{1}{x}>\frac{1}{y}.$$

Область определения: $$x\ne 0,\ y\ne 0.$$ Приведём к общему знаменателю:

$$\frac{1}{x}-\frac{1}{y}=\frac{y-x}{xy}>0.$$

Дробь положительна, когда числитель и знаменатель одного знака. Получаем:

$$x>0,\ y<0;$$

$$x>0,\ y>x;$$

$$x<0,\ y<0,\ y>x.$$

е) $$\sin x>\sin y.$$

Сначала найдём границу:

$$\sin x=\sin y.$$

Отсюда

$$y=x+2\pi n,\qquad y=\pi-x+2\pi n,\qquad n\in\mathbb Z.$$