Упр.96 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=\frac{1}{x}-2$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Область значений: $$E(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
Точка пересечения с осью абсцисс находится из уравнения
$$\frac{1}{x}-2=0,$$
откуда
$$\frac{1}{x}=2,\qquad x=\frac12.$$
Следовательно, точка пересечения с осью абсцисс: $$\left(\frac12;0\right).$$
Точки пересечения с осью ординат нет, так как при $$x=0$$ функция не определена.
Знак функции:
$$\frac{1}{x}-2>0 \iff \frac{1}{x}>2 \iff x\in\left(0;\frac12\right),$$
$$\frac{1}{x}-2<0 \iff x\in(-\infty;0)\cup\left(\frac12;+\infty\right).$$
Функция убывает на всей области определения. Асимптоты: $$x=0$$ — вертикальная, $$y=-2$$ — горизонтальная.
б) $$f(x)=-(x-3)^4$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Область значений: $$E(f)=(-\infty;0].$$
Точка пересечения с осью ординат:
$$f(0)=-(0-3)^4=-81,$$
значит, $$(0;-81).$$
Точка пересечения с осью абсцисс:
$$-(x-3)^4=0 \iff (x-3)^4=0 \iff x=3,$$
то есть $$(3;0).$$
Так как $$(x-3)^4\ge 0,$$ то $$f(x)\le 0$$ при всех $$x$$, а равенство достигается только при $$x=3$$.
Функция возрастает на $$(-\infty;3]$$ и убывает на $$[3;+\infty).$$ Максимум: $$f_{\max}=0$$ при $$x=3.$$
в) $$f(x)=\frac{1}{x+2}$$
Область определения: $$D(f)=(-\infty;-2)\cup(-2;+\infty).$$
Область значений: $$E(f)=(-\infty;0)\cup(0;+\infty).$$
Точка пересечения с осью ординат:
$$f(0)=\frac{1}{0+2}=\frac12,$$
значит, $$\left(0;\frac12\right).$$
Точек пересечения с осью абсцисс нет, так как
$$\frac{1}{x+2}=0$$
решений не имеет.
Знак функции:
$$\frac{1}{x+2}>0 \iff x>-2,$$
$$\frac{1}{x+2}<0 \iff x<-2.$$
Функция убывает на всей области определения. Асимптоты: $$x=-2$$ — вертикальная, $$y=0$$ — горизонтальная.
г) $$f(x)=x^3-1$$
Область определения: $$D(f)=\mathbb{R}.$$
Область значений: $$E(f)=\mathbb{R}.$$
Точка пересечения с осью ординат:
$$f(0)=0^3-1=-1,$$
то есть $$(0;-1).$$
Точка пересечения с осью абсцисс:
$$x^3-1=0 \iff x^3=1 \iff x=1,$$
значит, $$(1;0).$$
Знак функции:
$$x^3-1>0 \iff x>1,$$
$$x^3-1<0 \iff x<1.$$
Функция возрастает на всей области определения, экстремумов не имеет.
Ответ
Для всех четырёх функций найдены область определения, область значений, точки пересечения с осями, промежутки знакопостоянства и основные свойства; графики строятся по указанным опорным точкам и асимптотам.
