Упр.95 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию: а) $$y^2+\cos^2(x)=1$$; б) $$x^2+y^2=x^2y^2+1$$; в) $$|y|=\log_{\frac{1}{3}}\left(\left||x+2|-1\right|\right)$$.
а) $$y^2+\cos^2 x=1$$
$$y^2=1-\cos^2 x=\sin^2 x$$
$$|y|=|\sin x|$$
Искомое множество точек задаётся уравнением $$y=\sin x$$ и $$y=-\sin x$$, то есть это две синусоиды, симметричные относительно оси $$Ox$$.
б) $$x^2+y^2=x^2y^2+1$$
$$x^2y^2-x^2-y^2+1=0$$
$$\left(x^2-1\right)\left(y^2-1\right)=0$$
Отсюда
$$x^2=1 \quad \text{или} \quad y^2=1$$
то есть
$$x=\pm 1 \quad \text{или} \quad y=\pm 1.$$
Множество точек состоит из четырёх прямых: $$x=1$$, $$x=-1$$, $$y=1$$, $$y=-1$$.
в) $$|y|=\log_{\frac13}\left(\left||x+2|-1\right|\right)$$
Так как логарифм определён только при положительном аргументе, то
$$\left||x+2|-1\right|>0.$$
Рассмотрим случаи.
Если $$x\ge -2$$, то $$|x+2|=x+2$$ и
$$\left||x+2|-1\right|=|x+1|.$$
Тогда при $$x\ge -1$$ получаем
$$|y|=\log_{\frac13}(x+1),$$
а при $$-2\le x\le -1$$
$$|y|=\log_{\frac13}(-x-1).$$
Если $$x\le -2$$, то $$|x+2|=-x-2$$ и
$$\left||x+2|-1\right|=|-x-3|.$$
Тогда при $$x\le -3$$
$$|y|=\log_{\frac13}(-x-3),$$
а при $$-3\le x\le -2$$
$$|y|=\log_{\frac13}(x+3).$$
Следовательно, график состоит из четырёх ветвей, симметричных относительно оси $$Ox$$, с разрывами в точках, где аргумент логарифма равен нулю.
Ответ
а) $$y=\sin x$$ и $$y=-\sin x$$; б) $$x=\pm1$$ или $$y=\pm1$$; в) множество точек, задаваемое уравнением $$|y|=\log_{\frac13}\left(\left||x+2|-1\right|\right)$$, с разбиением на случаи:
$$\begin{aligned} &-2\le x\le -1:\quad |y|=\log_{\frac13}(-x-1),\\ &x\ge -1:\quad |y|=\log_{\frac13}(x+1),\\ &-3\le x\le -2:\quad |y|=\log_{\frac13}(x+3),\\ &x\le -3:\quad |y|=\log_{\frac13}(-x-3). \end{aligned}$$
