Упр.95 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
а) $$f(x)=5-2x$$
$$D(f)=\mathbb{R}, \qquad E(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=5,$$ значит, точка пересечения с осью ординат: $$(0;5).$$
Приравняем функцию к нулю:
$$5-2x=0, \qquad x=\frac{5}{2}.$$
Точка пересечения с осью абсцисс: $$\left(\frac{5}{2};0\right).$$
Если $$x_2>x_1,$$ то
$$f(x_2)-f(x_1)=(5-2x_2)-(5-2x_1)=2(x_1-x_2)<0,$$
значит, функция убывает на всей области определения.
График — прямая, проходящая через точки $$(0;5)$$ и $$\left(\frac{5}{2};0\right).$$
б) $$f(x)=3-2x-x^2$$
$$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=3,$$ значит, точка пересечения с осью ординат: $$(0;3).$$
Приравняем функцию к нулю:
$$3-2x-x^2=0$$
$$x^2+2x-3=0$$
$$(x+3)(x-1)=0,$$
$$x_1=-3,\quad x_2=1.$$
Точки пересечения с осью абсцисс: $$(-3;0)$$ и $$(1;0).$$
Так как $$a=-1<0,$$ график — парабола, ветви направлены вниз.
Координаты вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2}{2\cdot(-1)}=-1,$$
$$y_0=f(-1)=3-2(-1)-(-1)^2=4.$$
Вершина параболы: $$(-1;4).$$
Следовательно, $$E(f)=(-\infty;4].$$
Функция возрастает на $$(-\infty;-1]$$ и убывает на $$[-1;\infty).$$
в) $$f(x)=3x-2$$
$$D(f)=\mathbb{R}, \qquad E(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=-2,$$ значит, точка пересечения с осью ординат: $$(0;-2).$$
Приравняем функцию к нулю:
$$3x-2=0, \qquad x=\frac{2}{3}.$$
Точка пересечения с осью абсцисс: $$\left(\frac{2}{3};0\right).$$
Если $$x_2>x_1,$$ то
$$f(x_2)-f(x_1)=(3x_2-2)-(3x_1-2)=3(x_2-x_1)>0,$$
значит, функция возрастает на всей области определения.
График — прямая, проходящая через точки $$(0;-2)$$ и $$\left(\frac{2}{3};0\right).$$
г) $$f(x)=x^2-3x+2$$
$$D(f)=\mathbb{R}.$$
Найдём точки пересечения с осями координат:
$$f(0)=2,$$ значит, точка пересечения с осью ординат: $$(0;2).$$
Приравняем функцию к нулю:
$$x^2-3x+2=0$$
$$(x-1)(x-2)=0,$$
$$x_1=1,\quad x_2=2.$$
Точки пересечения с осью абсцисс: $$(1;0)$$ и $$(2;0).$$
Так как $$a=1>0,$$ график — парабола, ветви направлены вверх.
Координаты вершины:
$$x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{-3}{2}=\frac{3}{2},$$
$$y_0=f\left(\frac{3}{2}\right)=\left(\frac{3}{2}\right)^2-3\cdot\frac{3}{2}+2=-\frac{1}{4}.$$
Вершина параболы: $$\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{4}\right).$$
Следовательно, $$E(f)=\left[-\frac{1}{4};\infty\right).$$
Функция убывает на $$\left(-\infty;\frac{3}{2}\right]$$ и возрастает на $$\left[\frac{3}{2};\infty\right).$$
Ответ
а) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=\mathbb{R}$$; точки пересечения: $$(0;5),\ \left(\frac{5}{2};0\right)$$; функция убывает.
б) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=(-\infty;4]$$; точки пересечения: $$(0;3),\ (-3;0),\ (1;0)$$; вершина $$(-1;4)$$.
в) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=\mathbb{R}$$; точки пересечения: $$(0;-2),\ \left(\frac{2}{3};0\right)$$; функция возрастает.
г) $$D(f)=\mathbb{R},\ E(f)=\left[-\frac{1}{4};\infty\right)$$; точки пересечения: $$(0;2),\ (1;0),\ (2;0)$$; вершина $$\left(\frac{3}{2};-\frac{1}{4}\right).$$
