Упр.94 Повторение ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Представьте функцию в виде суммы четной и нечетной функций:

а) $$y=\frac{x+1}{|x|}$$;

б) $$y=x^3-x|x|+3$$;

в) $$\frac{x^3+x^2-x}{x^4-1}$$;

г) $$y=2x^5+x^4-3x+8$$.

Разложим каждую функцию на сумму чётной и нечётной частей, используя представление

$$f(x)=f_{\text{ч}}(x)+f_{\text{н}}(x),$$

где $$f_{\text{ч}}(-x)=f_{\text{ч}}(x),$$ а $$f_{\text{н}}(-x)=-f_{\text{н}}(x).$$

1. $$y=\frac{x+1}{|x|}=\frac{1}{|x|}+\frac{x}{|x|}.$$

   Здесь $$\frac{1}{|x|}$$ — чётная функция, а $$\frac{x}{|x|}$$ — нечётная.

2. $$y=x^3-x|x|+3=3+\left(x^3-x|x|\right).$$

   Функция $$3$$ — чётная, а $$x^3-x|x|$$ — нечётная.

3. $$y=\frac{x^3+x^2-x}{x^4-1}=\frac{x^2}{x^4-1}+\frac{x^3-x}{x^4-1}.$$

   Так как $$x^4-1$$ — чётная функция, то

   • $$\frac{x^2}{x^4-1}$$ — чётная;
   • $$\frac{x^3-x}{x^4-1}$$ — нечётная.

4. $$y=2x^5+x^4-3x+8=(x^4+8)+(2x^5-3x).$$

   Здесь $$x^4+8$$ — чётная функция, а $$2x^5-3x$$ — нечётная.

Ответ:

а) $$\frac{1}{|x|}+\frac{x}{|x|}$$;
б) $$3+\left(x^3-x|x|\right)$$;
в) $$\frac{x^2}{x^4-1}+\frac{x^3-x}{x^4-1}$$;
г) $$\left(x^4+8\right)+\left(2x^5-3x\right).$$