Упр.94 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию:

1. а) $$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2-1}\ ?\ 0$$; б) $$|x|+|y|=4$$; в) $$\sqrt{x+y}\ ?\ |x|$$; г) $$\frac{xy+1}{xy-1}\ ?\ \frac{y+1}{y-1}$$.

а) $$\frac{x^2-y^2}{x^2+y^2-1}\le 0.$$

Рассмотрим знак числителя и знаменателя:

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y), \qquad x^2+y^2-1.$$

Неравенство выполняется, когда числитель и знаменатель разных знаков или числитель равен нулю:

$$\begin{cases} x^2-y^2\le 0,\\ x^2+y^2-1>0 \end{cases} \quad \text{или} \quad \begin{cases} x^2-y^2\ge 0,\\ x^2+y^2-1<0 \end{cases}$$

То есть

$$|y|\ge |x|,\ x^2+y^2\ge 1 \quad \text{или} \quad |y|\le |x|,\ x^2+y^2\le 1.$$

Геометрически это две внешние области между прямыми $$y=\pm x$$ вне окружности $$x^2+y^2=1$$ и две внутренние области между этими же прямыми внутри окружности.

б) $$|x|+|y|=4.$$

Рассмотрим по четвертям:

$$\begin{cases} x\ge 0,\ y\ge 0: & x+y=4,\\ x\le 0,\ y\ge 0: & -x+y=4,\\ x\le 0,\ y\le 0: & -x-y=4,\\ x\ge 0,\ y\le 0: & x-y=4. \end{cases}$$

Получаем ромб с вершинами $$\,(4,0),\ (0,4),\ (-4,0),\ (0,-4).$$

в) $$\sqrt{x+y}\ge |x|.$$

Так как левая часть определена, то

$$x+y\ge 0.$$

Обе части неотрицательны, поэтому можно возвести в квадрат:

$$x+y\ge x^2.$$

Следовательно, искомое множество задаётся системой

$$\begin{cases} x+y\ge 0,\\ x+y\ge x^2. \end{cases}$$

Или, что то же самое,

$$y\ge -x \quad \text{и} \quad y\ge x^2-x.$$

Это область, лежащая выше прямой $$y=-x$$ и выше параболы $$y=x^2-x$$.

г) $$\frac{xy+1}{xy-1}\ge \frac{y+1}{y-1}.$$

Перенесём всё в одну сторону:

$$\frac{(xy+1)(y-1)-(xy-1)(y+1)}{(xy-1)(y-1)}\ge 0.$$

Числитель упростим:

$$(xy+1)(y-1)-(xy-1)(y+1)=2y-2xy=2y(1-x).$$

Тогда

$$\frac{2y(1-x)}{(xy-1)(y-1)}\ge 0,$$

или

$$\frac{y(x-1)}{(xy-1)(y-1)}\le 0.$$

Учитывая точки разрыва $$xy\ne 1$$ и $$y\ne 1$$, получаем области знаков:

$$\begin{cases} x>1,\ y<0,\\ x>1,\ 0<y<1,\\ x<1,\ y<0,\\ x<1,\ 0<y<1, \end{cases}$$

при условии, что точки $$y=1$$ и $$xy=1$$ не входят в множество.

Геометрически это области, определяемые прямой $$x=1$$, прямой $$y=1$$ и гиперболой $$xy=1$$, без самих линий разрыва.

Ответ

а) $$\{|y|\ge |x|,\ x^2+y^2\ge 1\}\cup\{|y|\le |x|,\ x^2+y^2\le 1\};$$

б) ромб с вершинами $$\,(4,0),\ (0,4),\ (-4,0),\ (0,-4);$$

в) $$\{(x,y)\mid x+y\ge 0,\ x+y\ge x^2\};$$

г) $$\left\{(x,y)\mid \frac{xy+1}{xy-1}\ge \frac{y+1}{y-1},\ xy\ne 1,\ y\ne 1\right\}.$$