Упр.93 Задачи повышенной сложности ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)
Изобразите на координатной плоскости множество точек, координаты которых удовлетворяют заданному условию: а) $$|x|<1,\ |y|<1$$; б) $$|x-3|?1,\ |y-4|?1$$; в) $$|y|>|x+1|$$; г) $$|x+y|+|x-y|?2$$.
а) Из неравенств $$|x|<1,\quad |y|<1$$ получаем
$$-1<x<1,\quad -1<y<1.$$
Это внутренняя часть квадрата с вершинами $$(-1,-1),\ (1,-1),\ (1,1),\ (-1,1)$$ без границы.
б) $$|x-3|\le 1,\quad |y-4|\le 1.$$
Тогда
$$-1\le x-3\le 1,\quad 2\le x\le 4,$$
$$-1\le y-4\le 1,\quad 3\le y\le 5.$$
Искомое множество — квадрат $$2\le x\le 4,\ 3\le y\le 5$$ с вершинами $$(2,3),\ (4,3),\ (4,5),\ (2,5).$$
в) $$|y|>|x+1|.$$
Это равносильно системе
$$y<-|x+1|\quad \text{или}\quad y>|x+1|.$$
Геометрически это две области вне угла с вершиной в точке $$(-1,0)$$, ограниченные прямыми
$$y=x+1,\quad y=-x-1.$$
Границы не входят, так как знак строгий.
г) $$|x+y|+|x-y|\ge 2.$$
Рассмотрим случаи по знакам выражений $$x+y$$ и $$x-y$$:
- если $$x>0,\ y>0,\ x>y,$$ то $$|x+y|+|x-y|=(x+y)+(x-y)=2x\ge 2,$$ значит $$x\ge 1$$;
- если $$x>0,\ y>0,\ x<y,$$ то $$|x+y|+|x-y|=(x+y)+(y-x)=2y\ge 2,$$ значит $$y\ge 1$$;
- при других знаках координат аналогично получаем симметричные области.
Удобно использовать тождество
$$|x+y|+|x-y|=2\max(|x|,|y|).$$
Тогда неравенство равносильно
$$2\max(|x|,|y|)\ge 2,$$
то есть
$$\max(|x|,|y|)\ge 1.$$
Следовательно, искомое множество — все точки вне квадрата $$|x|<1,\ |y|<1$$, включая его границу.
Ответ: а) внутренность квадрата $$-1<x<1,\ -1<y<1$$; б) квадрат $$2\le x\le 4,\ 3\le y\le 5$$; в) область вне угла с вершиной $$(-1,0)$$ между прямыми $$y=x+1$$ и $$y=-x-1$$; г) все точки, для которых $$\max(|x|,|y|)\ge 1$$.
