Упр.92 ГДЗ Колмогоров 10-11 класс (Алгебра)

Пусть $$f$$ — чётная функция. Тогда для любого $$x$$ выполняется $$f(-x)=f(x)$$.

а)

Пусть $$x_0$$ — точка максимума функции $$f$$. Тогда в некоторой окрестности точки $$x_0$$ имеем

$$f(x_0)\ge f(x).$$

Так как функция чётная, то $$f(-x_0)=f(x_0)$$. Следовательно,

$$f(-x_0)\ge f(x).$$

Значит, значение функции в точке $$-x_0$$ не меньше значений в её окрестности, то есть $$-x_0$$ — тоже точка максимума.

б)

Пусть $$f$$ — нечётная функция и на промежутке $$[a;b]$$ она убывает. Тогда для любых $$x_1,x_2$$ таких, что $$a\le x_1<x_2\le b,$$ выполняется

$$f(x_1)>f(x_2).$$

Умножим неравенство $$a\le x_1<x_2\le b$$ на $$-1$$:

$$-a\ge -x_1>-x_2\ge -b.$$

Значит, $$-x_1$$ и $$-x_2$$ принадлежат промежутку $$[-b;-a]$$, причём $$-x_1<-x_2$$.

Так как функция нечётная, то

$$f(-x_1)=-f(x_1),\qquad f(-x_2)=-f(x_2).$$

Из $$f(x_1)>f(x_2)$$ получаем

$$-f(x_1)<-f(x_2),$$

то есть

$$f(-x_1)<f(-x_2).$$

Следовательно, на промежутке $$[-b;-a]$$ функция $$f$$ убывает.

в)

Пусть $$x_0$$ — точка минимума функции $$f$$. Тогда в некоторой окрестности точки $$x_0$$

$$f(x_0)\le f(x).$$

Так как функция нечётная, то $$f(-x_0)=-f(x_0)$$. Из неравенства $$f(x_0)\le f(x)$$ после умножения на $$-1$$ получаем

$$-f(x_0)\ge -f(x),$$

то есть

$$f(-x_0)\ge f(x).$$

Следовательно, $$-x_0$$ — точка максимума.

г)

Пусть $$f$$ — чётная функция и на промежутке $$[a;b]$$ она возрастает. Тогда для любых $$x_1,x_2$$ таких, что $$a\le x_1<x_2\le b,$$ имеем

$$f(x_1)<f(x_2).$$

Умножим неравенство $$a\le x_1<x_2\le b$$ на $$-1$$:

$$-a\ge -x_1>-x_2\ge -b.$$

Значит, $$-x_1$$ и $$-x_2$$ принадлежат промежутку $$[-b;-a]$$, причём $$-x_1>-x_2$$.

Так как функция чётная, то

$$f(-x_1)=f(x_1),\qquad f(-x_2)=f(x_2).$$

Из $$f(x_1)<f(x_2)$$ следует

$$f(-x_1)<f(-x_2).$$

Но при $$-x_1>-x_2$$ это означает, что при увеличении аргумента значение функции уменьшается. Следовательно, на промежутке $$[-b;-a]$$ функция $$f$$ убывает.

Ответ: а) $$-x_0$$ — точка максимума; б) на $$[-b;-a]$$ функция убывает; в) $$-x_0$$ — точка максимума; г) на $$[-b;-a]$$ функция убывает.